Question

2．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上的一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA于點D．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若DC+DA=6，AE=26，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根據(jù)角平分線得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）過O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM=13-DA，利用勾股定理求出AD的長，即可求出AM的長，從而求出AB的長．

解答 （1）證明：連接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即 CD⊥OC，點C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．   
              
（2）解：過O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，AM=BM，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四邊形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD．
∵AE=26，
∴AO=13，
∴OC=AO=13，
∴DM=13，
∴AM=13-DA，
∵DC+DA=6，
∴OM=CD=6-DA，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根據(jù)勾股定理得：AO²=AM²+OM²．
∴13²=（6-DA）²+（13-DA）²，
∴DA=1或DA=18（舍去），
∴AM=13-1=12，
∴AB=2AM=24．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理、垂徑定理、切線的判定、平行線的性質(zhì)和判定等知識點，主要考查學(xué)生綜合運用定理進(jìn)行推理的能力，用了方程思想．