Question

如圖，Rt△OAB∽R(shí)t△BCD，斜邊都在x軸上，tan∠AOB=2，AB=6

5

，雙曲線y=

k

x

（x＞0）與AO交于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，且OE=2AE，
CF=2BF，則反比例函數(shù)解析式是

 

，點(diǎn)C的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出AO，EO的長，再利用勾股定理得出EN的值，得出E點(diǎn)坐標(biāo)即可得出函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出F點(diǎn)坐標(biāo)，再利用相似三角形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：分別過點(diǎn)E、A、F、C作EN⊥x軸，AM⊥x軸，F(xiàn)Q⊥x軸，CS⊥x軸于點(diǎn)N，M，Q，S．
∵Rt△OAB，tan∠AOB=2，
∴

EN

NO

=

AB

AO

=2，
∵AB=6

5

，
∴AO=3

5

，
∵OE=2AE，
∴EO=2

5

，
設(shè)NO=x，則EN=2x，
由勾股定理得出：x²+（2x）²=（2

5

）²，
解得：x₁=2，x₂=-2（不合題意舍去），
則EN=4，
故E點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4），
則xy=k=2×4=8，
故雙曲線為：y=

8

x

；
∵AO=3

5

，AB=6

5

，
∴BO=

(3 5 )2+(6 5 )2

=15，
∵Rt△OAB∽R(shí)t△BCD，tan∠AOB=2，
∴tan∠FBQ=

FQ

BQ

=2，
設(shè)BQ=y，則FQ=2y，
故BQ=15+y，F(xiàn)Q=2y，
則QO×FQ=8，
即（15+y）×2y=8，
解得：y₁=

-15+ 241

2

，y₂=

-15- 241

2

（不合題意舍去），
則FQ=-15+

241

，
∵FQ∥CS，CF=2BF，
∴

BQ

BS

=

FQ

CS

=

BF

BC

=

1

3

，
∴CS=-45+3

241

，BS=

-45+3 241

2

，
則OS=15+

-45+3 241

2

=

3 241 -15

2

，
故C點(diǎn)坐標(biāo)為：(

3 241 -15

2

，3

241

-45)．
故答案為：y=

8

x

，（

3 241 -15

2

，3

241

-45）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．