Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+ x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直線l：y=﹣ x﹣4與x軸交于點D，點P是拋物線y=ax2+x+c上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點F．

（1）試求該拋物線表達式；

（2）求證：點C在以AD為直徑的圓上；

（3）是否存在點P使得四邊形PCOF是平行四邊形，若存在求出P點的坐標，不存在請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y= x2+ x﹣4；（2）見解析；（3）（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）．

【解析】試題分析：（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可得到關于a、c的方程組，然后解方程組求得a、c的值即可；

（2）求出D點坐標，根據兩點間距離公式分別求出AD、AC、CD的長，然后根據勾股定理的逆定理證明出△ADC為直角三角形即可得出結論；

（3）設P（m，m2＋m－4），則F（m，－m－4），則PF＝－m2－m，當PF＝OC時，四邊形PCOF是平行四邊形，然后依據PF＝OC列方程求解即可．

試題解析：

（1）解：由題意得： ，解得： ，

∴拋物線的表達式為y＝ x2＋ x﹣4．

（2）證明：把y＝0代入y＝﹣ x﹣4得：﹣ x﹣4＝0，

解得：x＝﹣8．

∴D（﹣8，0）．

∴OD＝8．

∵A（2，0），C（0，﹣4），∴AD＝2﹣（﹣8）＝10．

由兩點間的距離公式可知：AC2＝22＋42＝20，DC2＝82＋42＝80，AD2＝100，

∴AC2＋CD2＝AD2 ．

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，

∴點C在以AD為直徑的圓上；

(3)解：設P（m， m2＋ m﹣4），則F（m，﹣ m﹣4）．

∴PF＝（﹣ m﹣4）﹣（ m2＋ m﹣4）＝﹣ m2﹣ m．

∵PE⊥x軸，∴PF∥OC．

∴PF＝OC時，四邊形PCOF是平行四邊形．

∴﹣ m2﹣ m＝4，解得：m＝﹣ 或m＝﹣8．

當m＝﹣ 時， m2＋ m﹣4＝﹣ ，

當m＝﹣8時， m2＋ m﹣4＝﹣4．

∴點P的坐標為（﹣ ，﹣ ）或（﹣8，﹣4）．