Question

如圖，已知點B、C分別在∠A的兩邊上，連結BC，點P在∠A的內部，連結PB、PC．試探索∠BPC與∠A、∠ABP、∠ACP之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：①當點P恰在直線AC上時，∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，
∵B、P、C在一條直線上，
∴∠BPC=180°，
又∵∠A+∠ABP+∠ACP=180°，
∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．
②當點P在∠A的內部、△ABC的外部時，
∠BPC=360°-∠A-∠ABP-∠ACP，
∵點A、B、P、C構成四邊形，
∴∠BPC+∠A+∠ABP+∠ACP=360°，
∴∠BPC=360°-∠A-∠ABP-∠ACP．
③當點P在△ABC的內部時（如圖），
∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，
∵∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），
∠A+∠ABP+∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB），
∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．
分析：分三種情況：①點P恰在直線AC上，②點P在∠A的內部、△ABC的外部，③點P在△ABC的內部分別求出∠BPC與∠A、∠ABP、∠ACP之間的數(shù)量關系即可．
點評：本題考查了多邊形的內角和外角的知識，解答本題的關鍵是分類討論，注意不要漏解，難度較大．