Question

如圖，BD是等邊△ABC一邊上的高，延長BC至E，使CE=CD，
（1）試比較BD與DE的大小關系，并說明理由；
（2）若將BD改為△ABC的角平分線或中線，能否得出同樣的結論？

Answer 1

解：（1）BD=DE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
又∵BD是AC邊上的高，
∴∠1=∠2=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED，
又∵∠ACB=∠CDE+∠CED=60°，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠2=∠CED，
∴BD=DE；

（2）若將BD改為△ABC的角平分線或中線，能得出同樣的結論．
道理同（1），由于等腰三角形存在三線合一定理．
分析：（1）由于△ABC是等邊三角形，那么BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，而BD是高，于是有∠1=∠2=∠ABC=30°，又CD=CE，∠ACB=∠CDE+∠CED=60°，易求∠E=30°，從而可得∠2=∠CED，那么BD=DE；
（2）若將BD改為△ABC的角平分線或中線，能得出同樣的結論．道理同（1），由于等腰三角形存在三線合一定理．
點評：本題考查了等邊三角形的性質、等腰三角形三線合一定理、三角形外角的性質，解題的關鍵是注意等邊三角形是特殊的等腰三角形，求出∠2和∠CED．