Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)？
（2）設(shè)△PQB的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出最大值；
（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作CE⊥AB于E，

∵DC∥AB，DA⊥AB，

∴四邊形AECD是矩形，

∴AE=CD=5，CE=AD=4，

∴BE=3，

∴BC= ，

∴BC＜AB，

∴P到C時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

∴t= （秒），

即t=5秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)

（2）

解：由題意知，AQ=BP=t，

∴QB=8﹣t，

作PF⊥QB于F，則△BPF～△BCE，

∴ ，即 ，

∴BF= ，

∴S= QBPF= × （8﹣t）= =﹣ （t﹣4）2+ （0＜t≤5），

∵﹣ ＜0，

∴S有最大值，當(dāng)t=4時(shí)，S的最大值是

（3）

解：∵cos∠B= ，

① 當(dāng)PQ=PB時(shí)（如圖2所示），則BG= BQ， = = ，解得t= s，

②當(dāng)PQ=BQ時(shí)（如圖3所示），則BG= PB， = = ，解得t= s，

③當(dāng)BP=BQ時(shí)（如圖4所示），則8﹣t=t，

解得：t=4．

綜上所述：當(dāng)t= s， s或t=4s時(shí)，△PQB為等腰三角形

【解析】（1）通過比較線段AB，BC的大小，找出較短的線段，根據(jù)速度公式可以直接求得；（2）由已知條件，把△PQB的邊QB用含t的代數(shù)式表示出來，三角形的高可由相似三角形的性質(zhì)也用含t的代數(shù)式表示出來，代入三角形的面積公式可得到一個(gè)二次函數(shù)，即可求出S的最值；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和余弦公式列出等式求解，即可求的結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的應(yīng)用對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．