Question

已知關(guān)于x的一元二次方程mx ²－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m>0)

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁、x₂(x₁＜x₂),若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x₂－2x₁，求這個(gè)函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖像回答：當(dāng)自變量m的取值范圍滿足什么條件時(shí)，y≤2m.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）y=（3）m≥1

【解析】（1）證明：∵a=m,b=-(3m+2),c=2m+2

               ∴Δ=【－(3m+2)】²－4m(2m＋2)

                    =9m²+12m+4－8m²－8m

                    =m²+4m+4

                    =(m+2)²

               又∵m>0

                ∴Δ=(m+2)²>0

                ∴ 此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（2）先由公式法可求得x=1或x=

          ∵x₁<x₂

         ∴x₁=1,x₂ =

         ∴y=x₂ -2x₁=－2=(m>0)

（3）在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=(m>0)和y₁=2m的圖像，由圖像可得當(dāng)m≥1時(shí)，y≤2m.圖略.

本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．本題也考查了不等式的解法，m＞0是一個(gè)重要的條件．