Question

20．如圖，點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)，△PBC是正三角形，AC與PB相交于點(diǎn)E．有以下結(jié)論：
①∠ACP=15°；
②△APE是等腰三角形；
③AE²=PE•AB；
④△APC的面積為S₁，正方形ABCD的面積為S₂，則S₁：S₂=1：4．
其中正確的是①②③（把正確的序號填在橫線上）．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠PCB=60°，PC=BC，∠PBC=60°，根據(jù)正方形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠DBC=45°，即可判斷①；
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求出∠DPC=∠PDC=75°，即可判斷②；
根據(jù)三角形相似的判定即可判斷③；
根據(jù)三角形的面積求出△PBC，△DPC，△DBC的面積，即可判斷④．

解答 解：∵△PBC是等邊三角形，
∴∠PCB=60°，PC=BC，∠PCB=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACP=60°-45°=15°，∴①正確；
∵∠ABC=90°，∠PBC=60°，
∴∠ABP=90°-60°=30°，
∵BC=PB，BC=AB，
∴PB=AB，
∴∠BPA=∠PAB=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵∠ABP=30°，∠BAC=45°，
∴∠AEP=45°+30°=75°=∠BPA，
∴AP=AE，
∴△APE為等腰三角形，∴②正確；
∵∠APB=∠APB，∠AEP=∠PAB=75°，
∴△PAE∽△ABP，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PE}{AP}$，
∴AP²=PE•AB，
∴AE²=PE•AB；∴③正確；
連接PD，過D作DG⊥PC于G，過P作PF⊥AD于F，
設(shè)正方形的邊長為2a，則S₂=4a²，等邊三角形PBC的邊長為2a，高為$\sqrt{3}$a，
∴PF=2a-$\sqrt{3}$a=（2-$\sqrt{3}$）a，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•PF=（2-$\sqrt{3}$）a²，
∴∠PCD=90°-60°=30°，
∴GD=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$a，∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC•DG=a²，S_△ACD=2a²，
∴S₁=S_△ACD-S_△ADP-S_△PCD=2a²-a²-（2-$\sqrt{3}$）a²=（$\sqrt{3}$-1）a²＜a²，
∴S₁：S₂≠1：4．
∴④錯誤；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題考查了正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形面積，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道中等題．