Question

【題目】如圖，在中，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交于點和，再分別以為圓心，大于 的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連結并延長交于點，則下列說法中正確的個數(shù)是（）

①點到的兩邊距離相等；

②點在的中垂線上；

③

④

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的性質即可判斷；
②利用角平分線的定義可以推知∠BAD=∠CAD=30°=∠B，利用等角對等邊可以證得△ADB是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質可以證明點D在AB的中垂線上；

③根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得AD=2CD；

④根據(jù)含30°角的直角三角形的性質得出AB=2AC，AC=CD，進而可得出結論．

解：

根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可得點D到∠BAC的兩邊距離相等，故①正確;

如圖,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°，

∴∠CAB=60°.

又∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠1=∠B，

∴AD=BD，

∴點D在AB的中垂線上，

故②正確；

∵∠2=30°，∠C=90°,

∴AD=2CD，

故③正確；

∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°，

∴ AB=2AC，

在△ACD中,∠C=90°,∠2=30°，

∴AC=CD，

∴AB=2CD，

故④正確。

故選D.