Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（l，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足S△PAO＝2S△PCO，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）連接BC，點(diǎn)E是x軸一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若以B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點(diǎn)P（，﹣2）或（﹣，2）或（﹣2+，﹣4+2）或（﹣2﹣，﹣4﹣2）；（3）點(diǎn)F坐標(biāo)（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）

【解析】

（1）由待定系數(shù)法可求解析式；

（2）求出點(diǎn)C坐標(biāo)，可得OA＝OC＝3，由面積關(guān)系列出方程可求解；

（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（l，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C（0，3）

∴OA＝OC＝3，

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣2x+3）

∵S△PAO＝2S△PCO，

∴×3×|﹣x2﹣2x+3|＝2××3×|x|，

∴x＝±或x＝﹣2±，

∴點(diǎn)P（，﹣2）或（﹣，2）或（﹣2+，﹣4+2）或（﹣2﹣，﹣4﹣2）；

（3）若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形，

∴CF∥BE，

∴點(diǎn)F與點(diǎn)C縱坐標(biāo)相等，

∴3＝﹣x2﹣2x+3，

∴x1＝﹣2，x2＝0，

∴點(diǎn)F（﹣2，3）

若BC為邊，且四邊形BCEF是平行四邊形，

∴BE與CF互相平分，

∵BE中點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，且點(diǎn)C縱坐標(biāo)為3，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為﹣3，

∴﹣3＝﹣x2﹣2x+3

∴x＝﹣1±，

∴點(diǎn)F（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；

若BC為對角線，則四邊形BECF是平行四邊形，

∴BC與EF互相平分，

∵BC中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3，

∴點(diǎn)F（﹣2，3），

綜上所述，點(diǎn)F坐標(biāo)（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．