Question

如圖，△OAB是等邊三角形，過點A的直線l：y=-

3

3

x+m與x軸交于點E（4，0）
（1）求△OAB的邊長；
（2）在直線l上是否存在點P，使得△PAB的面積是△OAB面積的一半？若存在，試求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）過A、O、E三點畫拋物線，將△OAB沿直線l方向平移到△O′A′B′，使得點B′在拋物線上，問平移的距離是多少？

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將E坐標(biāo)代入直線l解析式求出m的值，確定出直線l，根據(jù)三角形AOB為等邊三角形，且A在直線l上，設(shè)等邊三角形邊長為2a，表示出A坐標(biāo)，代入直線l方程求出a的值，即可確定出等邊三角形邊長；
（2）求出三角形AOB面積，由△PAB的面積是△OAB面積的一半，確定出三角形PAB面積，求出B到AE的距離BD，確定出AP長，由P在直線l上，設(shè)出P坐標(biāo)為（p，-

3

3

p+

4 3

3

），利用兩點間的距離公式求出p的值，確定出P坐標(biāo)即可；
（3）求出過A，O，E三點拋物線解析式，找出過B且與l平行的直線方程，兩者聯(lián)立求出B′坐標(biāo)，即可求出平移的距離．

解答：解：（1）將E（4，0）代入直線l方程得：0=-4×

3

3

+m，即m=

4 3

3

，
∴直線l解析式為y=-

3

3

x+

4 3

3

，
過A作AC⊥OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴OC=BC=

1

2

OB，
設(shè)等邊△ABC邊長為2a，則有OC=a，AC=

OA2-OC2

=

3

a，即A（a，

3

a），
代入直線l方程得：

3

a=-

3

3

a+

4 3

3

，
解得：a=1，即A（1，

3

），
則△ABC邊長為2；
（2）過B作BD⊥AE，
∵直線l的斜率為-

3

3

，即傾斜角為150°，AB=BE=2，
∴∠AEB=∠BAE=30°，
∴BD=1，
∵S_△PAB=

1

2

S_△OAB，S_△OAB=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴S_△PAB=

1

2

AP•BD=

1

2

AP=

3

2

，即AP=

3

，
設(shè)P坐標(biāo)為（p，-

3

3

p+

4 3

3

），
∴AP²=（1-p）²+（

3

+

3

3

p-

4 3

3

）²=3，
解得：p=

5

2

或p=-

1

2

，
則P的坐標(biāo)為（

5

2

，

3

2

）或（-

1

2

，

3 3

2

）；
（3）設(shè)過A，E，O三點的拋物線解析式為y=ax²+bx，
將A（1，

3

），E（4，0）代入得：

a+b= 3 16a+4b=0

，
解得：a=-

3

3

，b=

4 3

3

，
∴拋物線解析式為y=-

3

3

x²+

4 3

3

x，
由題意得：BB′∥l，過點B與l平行的直線解析式為y=-

3

3

（x-2），即y=-

3

3

x+

2 3

3

，
聯(lián)立得：

y=- 3 3 x2+ 4 3 3 x y=- 3 3 x+ 2 3 3

，
解得：

x= 5+ 17 2 y=- 3 + 17 6

或

x= 5- 17 2 y= 17 - 3 6

，
∴平移的距離d=

2|xB′-xB|

3

=

2 3

3

|

1± 17

2

=|

3 ± 51

3

|，
則d=

3 + 51

3

或

51 - 3

3

．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩點間的距離公式，兩直線平行時斜率滿足的關(guān)系，以及平移規(guī)律，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．