Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx-3（b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-3 ）．
（1）求b的值；
（2）如圖，已知點(diǎn)A（1，0）、B（6，0），∠ABC=90°，AB=BC，將△ABC沿x軸向左平移n個(gè)單位得到△A′B′C′，若點(diǎn)C′恰好落在第一象限的拋物線上，求n的值；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是線段A′C′上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A′、C′除外），過點(diǎn)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度達(dá)到最大時(shí)，求以MN為直徑的圓與直線A′C′的另一個(gè)交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由已知條件，得4+2b-3=-3；
∴b=-2．

（2）∵A（1，0）、B（6，0），∴BC=AB=5
∴點(diǎn)C（6，5）；
依題意：得 5=x²-2x-3
∴x₁=4，x₂=-2（點(diǎn)C′在第一象限，舍棄）
∴點(diǎn)C′（4，5），則n=6-4=2．

（3）由（2）得點(diǎn)A′（-1，0），點(diǎn)C′（4，5）
∴直線A′C′的解析式為y=x+1．
設(shè)點(diǎn)M（m，m+1）、N（m，m²-2m-3）
∴MN=（m+1）-（m²-2m-3）=-m²+3m+4=-（m-）²+
當(dāng)m=時(shí)，MN最大值=，
∴點(diǎn)M（，）、N（，-）；
另設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t+1），過點(diǎn)P作PH⊥MN于H，連接PN，
∵M(jìn)N是圓的直徑，∴∠MPN=90°；
又∵∠PMN=∠C′=45°，
∴△PMN為等腰直角三角形．
而∵PH⊥MN，∴PH=MN，
∴-t=×，解得t=-
∴點(diǎn)P（-，-）．
分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入拋物線的解析式中，即可確定待定系數(shù)的值．
（2）由A、B點(diǎn)的坐標(biāo)以及△ABC是等腰直角三角形，不難確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；將△ABC向左移動(dòng)的過程中，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)不變，代入拋物線的解析式中即可得出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，由此得出n的值．
（3）首先求出直線A′C′的解析式，然后根據(jù)直線B′C′和拋物線的解析式，表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值即線段MN的長(zhǎng)，由此確定MN的最大值．在以MN為直徑的圓中，易證得△PMN是等腰直角三角形，那么點(diǎn)P到MN的距離必為MN長(zhǎng)的一半，根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系求解即可．
點(diǎn)評(píng)：該題是二次函數(shù)和圓的綜合題，主要涉及了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、圖形的平移等知識(shí)．（3）的描述看起來較為復(fù)雜，但通過作圖后可發(fā)現(xiàn)難度并不算大，所以在解題過程總，一定要合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．