Question

（2005•資陽(yáng)）如圖，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、O三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括點(diǎn)O、B）上，是否存在一點(diǎn)C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=，過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，利用已知條件可以求出OD，BD，也就求出B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法把A，B，O三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式；
（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，x²+x），使四邊形ABCO面積最大，而△OAB面積為定值，只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，而|CF|=y_C-y_F=x²+x-x=-x²+x，這樣可以得到S_△OBC=x²+x，利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值，也可以求出C的坐標(biāo)．
解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=，
過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，則OD=，BD=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）．（1分）

（2）將A（2，0）、B（）、O（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，
得（2分）
解方程組，有a=，b=，c=0．（3分）
∴所求二次函數(shù)解析式是y=x²+x．（4分）

（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，x²+x）（其中0＜x＜），使四邊形ABCO面積最大
∵△OAB面積為定值，
∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．（5分）
過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，
則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，（6分）
而|CF|=y_C-y_F=x²+x-x=-x²+x，
∴S_△OBC=x²+x．（7分）
∴當(dāng)x=時(shí)，△OBC面積最大，最大面積為．（8分）
此時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（），四邊形ABCO的面積為．（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形變換、解直角三角形、利用二次函數(shù)探究不規(guī)則圖形的面積最大值重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．