Question

9．如圖1，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上從C向A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為2（cm/s）；同時(shí)，點(diǎn)Q在BC上從B向C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（cm/s）．且設(shè)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為t秒，若其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)，則另一個(gè)點(diǎn)也將停止運(yùn)動(dòng)．

（1）如圖2，當(dāng)PD∥BC時(shí)，請解決下列問題：
①t=2；
②△ADP的形狀為等腰三角形（按“邊”分類）；
③若此時(shí)恰好有△BDQ≌△CPQ，請求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度x的值；
（2）當(dāng)PD與BC不平行時(shí)，也有△BDQ與△CPQ全等：
①請求出相應(yīng)的t與x的值；
②若設(shè)∠A=α°，請直接寫出相應(yīng)的∠DQP的度數(shù)（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到當(dāng)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，PD∥BC，求出AP，即可解答；
②△ADP的形狀為等腰三角形，證明AD=AP，即可解答；
③根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，得到BQ=CQ，即可解答；
（2）①求出BD，根據(jù)全等得出要使△BPD與△CQP全等，必須BD=CP或BP=CP，得出方程12=16-4x或4x=16-4x，求出方程的解即可；
②先利用定義三角形的性質(zhì)求出∠B的性質(zhì)，再由△BDQ與△CPQ全等，∠BDQ=∠PQC，由∠B+∠BDQ+∠BQD=180°，∠DQP+∠PQC+∠BQD=180°，得到∠DQB=∠B，即可解答．

解答 解：（1）①∵PD∥BC，D為AB中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，
∴AP=CP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8$=4cm，
∴t=4÷2=2．
故答案為：2；
②∵D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，AB=AC，
∴AD=AP，
∴△ADP為等腰三角形，
故答案為：等腰三角形；
③如圖2，

∵△BDQ≌△CPQ，
∴BQ=CQ，
∴BQ=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×6$=3cm，
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度x的值為：3÷2=1.5（cm/s）；
（2）如圖3，

設(shè)經(jīng)過t秒后，使△BPD與△CQP全等，
∵AB=AC=12，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=6，
∵∠ABC=∠ACB，
∴要使△BPD與△CQP全等，必須BD=CP或BP=CP，
即6=8-2t或2t=8-2t，
t₁=1，t₂=2，
t=1時(shí)，BP=CQ=2，2÷1=2；
t=2時(shí)，BD=CQ=6，6÷2=3；
∴當(dāng)t=1時(shí)，x=2；當(dāng)t=2時(shí)，x=3．
②∵AB=AC，∠A=α°，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-α°}{2}$，
∵△BDQ與△CPQ全等，
∴∠BDQ=∠PQC，
∵∠B+∠BDQ+∠BQD=180°，
∠DQP+∠PQC+∠BQD=180°，
∴∠DQB=∠B=$\frac{180°-α°}{2}=（90-\frac{α}{2}）°$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是利用△BDQ與△CPQ全等得到對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等．