Question

8．已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．
（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，證明你的結(jié)論．
（2）當四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD條件時，四邊形EFGH是矩形．
（3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是菱形？矩形．

Answer 1

分析 （1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G═$\frac{1}{2}$BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知當四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時，四邊形EFGH是矩形；
（3）根據(jù)三角形的中位線定理和矩形的性質(zhì)得出EF=FG=GH=EH即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：
如圖1，連結(jié)BD．
∵E、H分別是AB、AD中點，
∴EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，
同理FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；
（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．理由如下：
如圖2，連結(jié)AC、BD．
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是矩形；
故答案為：AC⊥BD；
（3）矩形的中點四邊形是菱形．理由如下：
如圖3，連結(jié)AC、BD．
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∴EF=FG=GH=EH，
∴四邊形EFGH是菱形．

點評 此題考查學(xué)生靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判定及菱形的判定方法；熟記三角形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵．