Question

7．平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，3），對(duì)稱軸直線x=1交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一點(diǎn)，且S_△PAC=2S_△DAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且∠MAC=∠ADE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由已知中點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，3），對(duì)稱軸為直線x=1，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用交點(diǎn)式求出即可求出拋物線的解析式；
（2）由已知中C點(diǎn)坐標(biāo)，再假設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可求出直線PC解析式，求出R點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)S_△PAC=2S_△DAC，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)C作CH⊥DE交DE于點(diǎn)H，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G，AM交y軸于點(diǎn)N，由∠MAC=∠ADE，可得N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出AN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由對(duì)稱軸x=1，A（3，0），可得B點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0）
設(shè)y=a（x-3）（x+1），把C（0，3）代入得，3=-3a，
解得：a=-1，
所求解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）如圖：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，頂點(diǎn)D（1，4），
由A（3，0）、C（0，3），得直線AC解析式為y=-x+3；
設(shè)對(duì)稱軸交AC于點(diǎn)G，則G（1，2），
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$（4-2）×3=3，
設(shè)P點(diǎn)（m，-m²+2m+3），
設(shè)PC解析式為：y=qx+p，
∴$\left\{\begin{array}{l}{P=3}\\{mk+3=-{m}^{2}+2m+3}\end{array}\right.$，
解得：k=-m-2，
∴PC解析式為：y=（-m+2）x+3，
設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)R，
∴R（$\frac{3}{m-2}$，0），
∴AR=3-$\frac{3}{m-2}$，
∴S_△APR+S_△CAR=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{3}{m-2}$）×（m²-2m-3）+$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{m-2}$）×3=$\frac{3{m}^{2}}{2}$-$\frac{9m}{2}$，
則S_△PAC=$\frac{3{m}^{2}}{2}$-$\frac{9m}{2}$，
由S_△PAC=2S_△DAC，
∴$\frac{3{m}^{2}}{2}$-$\frac{9m}{2}$=2×3，
解得：m₁=4，m₂=-1，把m₁=4，m₂=-1分別代入y=-x²+2x+3中，
∴y₁=-5，y₂=0，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-5）或（1，0）；              

（3）由以上可得出：D（1，4），C（0，3），E（1，0），
如備用圖：過點(diǎn)C作CH⊥DE交DE于點(diǎn)H，
∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，△ACD為直角三角形，且tan∠DAC=$\frac{1}{3}$．
設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G，AM交y軸于點(diǎn)N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=$\frac{1}{3}$．
∵A（3，0），
∴ON=1，即N（0，1），
設(shè)直線AN解析式為：y=dx+h
∴$\left\{\begin{array}{l}{h=1}\\{3d+h=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{h=1}\\{d=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AN解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
得：x=3（舍）或x=-$\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是二次函數(shù)與解析幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，難度較大．