Question

（2009•寶山區(qū)一模）如圖，已知正方形ABCD和EFCG，點(diǎn)E、F、G分別在線段AC、BC、CD上，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6．
（1）如果正方形EFCG的邊長(zhǎng)為4，求證：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，tan∠ABE×cot∠CAG=3．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到各角均為直角，AC，EC的長(zhǎng)，從而根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似求得結(jié)論．
（2）設(shè)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為x，則BF=6-x，連接FG交AC于點(diǎn)H，從而分別表示GH，AH的長(zhǎng)，用未知數(shù)分別表示tan∠ABE與cot∠CAG，根據(jù)等式可求得求知數(shù)的值，即求得正方形EFCG的邊長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為6，正方形EFCG邊長(zhǎng)為4，
∴∠BAC=∠ACG，AB=6，AC=，CG=4，EC=．（2分）
∴AE=AC-EC=．
∴．（2分）
在△ABE和△CAG中
∠BAC=∠ACG，，
∴△ABE∽△CAG．（1分）

（2）解：設(shè)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為x，則BF=6-x，
連接FG交AC于點(diǎn)H，
可得GH⊥AC，，，
tan∠CAG===，（2分）
∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，
∴tan∠ABE==．（1分）
∵tan∠ABE=3tan∠CAG，
∴=，（1分）
∴x₁=-12（舍去），x₂=3，
∴當(dāng)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為3時(shí)，tan∠ABE=3tan∠CAG．（1分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法的綜合運(yùn)用．