(1)①證明:如右圖4,連接CD,
∵圖1、2是兩個相似比為1:
的等腰直角三角形,
∴放置后小直角三角形的斜邊正好是大直角三角形的直角邊,
∴D為AB中點,CD⊥AB,
∵∠ACB=90°,
∴CD=AD=BD,
∴∠4=∠A=45°,
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△CDF和△ADE中
,
∴△CDF≌△ADE,
∴DE=DF.
②證明:∵由①知△CDF≌△ADE,
∴CF=AE,
與①證明△CDF≌△ADE類似可證△CED≌△BFD,
得出CE=BF,
∵在△CEF中,CE
2+CF
2=EF
2,
∴AE
2+BF
2=EF
2.
(2)證明:把△CFB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CGA,如右圖5,連接GE,
∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出:CF=CG,AG=BF,∠4=∠1,∠B=∠GAC=45°,
∴∠GAE=90°,
∵∠3=45°,
∴∠2+∠4=90°-45°=45°,
∴∠1+∠2=45°,
∵在△CGE和△CFE中
,
∴△CGE≌△CFE,
∴GE=EF,
∵在Rt△AGE中,AE
2+AG
2=GE
2,
∴AE
2+BF
2=EF
2.
分析:(1)①連接CD,得出AD=CD,求出∠1=∠3,證出△CDF≌△ADE即可;②由△CDF≌△ADE得出AE=CF,同理證△CED≌△BFD,推出BF=CE,在△CEF中根據(jù)勾股定理得出CE
2+CF
2=EF
2,代入求出即可;
(2)把△CFB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CGA,連接GE,求出∠GCE=∠ECF,CG=CF,根據(jù)SAS證△CGE≌△CFE,推出GE=EF,根據(jù)勾股定理求出即可.
點評:本題考查了等腰直角三角形,勾股定理,全等三角形的性質(zhì)和判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用,通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力,題目具有一定的代表性,是一道比較好的題目,注意:此類問題證明過程類似.