Question

26、如圖，△ABD，△BCE和△ACF都是等邊三角形，連DE和EF．
（1）試判斷四邊形DAFE的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)∠BAC多少度時(shí)，四邊形DAFE是矩形；
（3）探究下列問(wèn)題：（只填滿足的條件，不證明）①當(dāng)△ABC滿足

AB=AC≠BC

條件時(shí)，四邊形DAFE是菱形，②當(dāng)△ABC滿足

∠BAC=60°

條件時(shí)，以D、A、F、E為頂點(diǎn)的四邊形不存在．

Answer 1

分析：（1）四邊形DAFE是平行四邊形，根據(jù)△ABD，△BCE和△ACF都是等邊三角形容易得到全等條件證明△ABC≌△DBE，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)（1）知道四邊形DAFE是平行四邊形，若四邊形DAFE是矩形，則∠DAF=90°，然后根據(jù)題目已知容易求出∠BAC=150°；
（3）根據(jù)（1）知道四邊形DAFE是平行四邊形，若四邊形DAFE是菱形，則AD=AE，主要可以得到：AB=AC，但不能出現(xiàn)AB≠BC，因?yàn)楫?dāng)AB=AC=BC時(shí)，△ABC是等邊三角形，所以∠BAC=60°，此時(shí)根據(jù)已知可以得到∠DAF=180°，那么D、A、F三點(diǎn)在同一條直線上，此時(shí)四邊形就不成立了．

解答：解：
（1）判斷：四邊形DAFE是平行四邊形，（1分）
理由：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA=60°
∴∠DBE=∠ABC（1.5分）
又∵BD=BA，BE=BC
∴△ABC≌△DBE（2分）
∴AC=DE=AF（2.5分）
同理△ABC≌△FEC（3分）
∴AB=EF=AD（3.5分）
∴四邊形DAFE是平行四邊形（4分）

（2）若四邊形DAFE是矩形，則∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°（5分）

（3）①若四邊形DAFE是菱形，則AD=AE，主要可以得到：AB=AC，但不能出現(xiàn)AB≠BC，因?yàn)楫?dāng)AB=AC=BC時(shí)，△ABC是等邊三角形，和△EBC就重合了．故填：AB=AC≠BC；
②當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，根據(jù)已知可以得到∠DAF=180°，那么D、A、F三點(diǎn)在同一條直線上，此時(shí)四邊形就不成立了．
故填：∠BAC=60°（6分），不答“≠”不得分，）②∠BAC=60°（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題是開放題，可以結(jié)合特殊四邊形的判定方法探討不同給出的不同條件，此題要求學(xué)生對(duì)幾類特殊四邊形的性質(zhì)與判定很熟練．