Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線(xiàn)在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S₁，△ABN的面積為S₂，且S₁=6S₂，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=mx+n，
將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得

5m+n=0 n=5

，解得

m=-1 n=5

，
所以直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+5；
將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，
得

25+5b+c=0 c=5

，解得

b=-6 c=5

，
所以?huà)佄锞�(xiàn)的解析式為y=x²-6x+5；

（2）設(shè)M（x，x²-6x+5）（1＜x＜5），則N（x，-x+5），
∵M(jìn)N=（-x+5）-（x²-6x+5）=-x²+5x=-（x-

5

2

）²+

25

4

，
∴當(dāng)x=

5

2

時(shí)，MN有最大值

25

4

；

（3）∵M(jìn)N取得最大值時(shí)，x=2.5，
∴-x+5=-2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x²-6x+5=0，得x=1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB=5-1=4，
∴△ABN的面積S₂=

1

2

×4×2.5=5，
∴平行四邊形CBPQ的面積S₁=6S₂=30．
設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．
∵BC=5

2

，
∴BC•BD=30，
∴BD=3

2

．
過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)BC的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線(xiàn)DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°，
∴△EBD為等腰直角三角形，BE=

2

BD=6，
∵B（5，0），
∴E（-1，0），
設(shè)直線(xiàn)PQ的解析式為y=-x+t，
將E（-1，0）代入，得1+t=0，解得t=-1
∴直線(xiàn)PQ的解析式為y=-x-1．
解方程組

y=-x-1 y=x2-6x+5

，得

x1=2 y1=-3

，

x2=3 y2=-4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（2，-3）（與點(diǎn)D重合）或P₂（3，-4）．