Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），sin∠CAB=

4

5

，E是線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE．
（1）求AC和OA的長(zhǎng)；
（2）設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下試說(shuō)明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出OB、OC的長(zhǎng)度，結(jié)合sin∠CAB=

4

5

，求出AC，在Rt△OAC中利用勾股定理可得出OA．
（2）AE=m，則BE=8-m，利用△BEF∽△BAC得出EF關(guān)于m的表達(dá)式，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，根據(jù)sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，求出FG，再由S=S_△BCE-S_△BFE即可得出答案．
（3）結(jié)合（2）的表達(dá)式，利用配方法求函數(shù)最值即可，算出m的值后可得出點(diǎn)E坐標(biāo)，也可判斷此時(shí)△BCE的形狀．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），
∴OB=2，OC=8，
在Rt△AOC中，sin∠CAB=

OC

AC

=

4

5

，
∴

8

AC

=

4

5

．
∴AC=10，
∴OA=

AC2-OC2

=

102-82

=6．

（2）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．即 

EF

10

=

8-m

8

，
∴EF=

40-5m

4

，
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

×

40-5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

(8-m)×8-

1

2

(8-m)(8-m)=-

1

2

m²+4m，
自變量m的取值范圍是0＜m＜8．

（3）S存在最大值．
∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

(m-4)2+8，且-

1

2

＜0，
∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S_最大值=8，
∵m=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），
∴△BCE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，涉及了三角函數(shù)、點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)換，解答本題要求我們熟練掌握配方法求二次函數(shù)最值的關(guān)系，難度較大．