Question

12．如圖，已知經過點D（2，-$\sqrt{3}$）的拋物線y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）（m為常數，且m＞0）與x軸交于點A，B（點A位于點B的左側），與y軸交于點C．

（1）填空：m的值為$\sqrt{3}$，點A的坐標為（-1，0）．
（2）連接AD，射線AF在x軸的上方且滿足∠BAF=∠BAD，過點D作x軸的垂線交射線AF于點E．動點M，N分別在射線AB，AF上，求ME+MN的最小值．
（3）l是過點A平行于y軸的直線，P是拋物線上一點，過點P作l的垂線，垂足為點G．請?zhí)骄浚菏欠翊嬖邳cP，使得以P，G，A為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點D的坐標帶入拋物線解析式中，利用待定系數法即可求出m的值，再令拋物線解析式中y=0，求出x值，即可得出點A、B的坐標，由此即可得出結論；
（2）過點D作DN⊥AF于點N，交x軸于點M，連接ME，此時ME+MN=DN最小，根據三角形的面積找出關于DN長度的一元一次方程，解方程即可得出結論；
（3）假設存在．根據點A、B、D的坐標可得出△ABD為1：$\sqrt{3}$：2的直角三角形，設出點P、G點的坐標，利用相似三角形的性質即可找出關于m的含絕對值的一元二次方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）∵點D（2，-$\sqrt{3}$）在拋物線y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）（m為常數，且m＞0）的圖象上，
∴-$\sqrt{3}$=$\frac{m}{3}$（2+1）（2-3），
解得：m=$\sqrt{3}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）．
令拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）中y=0，則有$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵點A位于點B的左側，
∴A（-1，0），B（3，0）．
故答案為：$\sqrt{3}$；（-1，0）．
（2）過點D作DN⊥AF于點N，交x軸于點M，連接ME，此時ME+MN=DN最小，如圖1所示．

∵點D（2，-$\sqrt{3}$），∠BAF=∠BAD，
∴點D、E關于x軸對稱，
∴點E（2，$\sqrt{3}$），
∵點A（-1，0），
∴AE=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（0-\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，DE=2$\sqrt{3}$．
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$DE•（x_D-x_A）=$\frac{1}{2}$AE•DH，
∴DH=3，
∴ME+MN的最小值為3．
（3）假設存在．如圖2所示．

∵A（-1，0），B（3，0），D（2，-$\sqrt{3}$），
∴AB=4，AD=2$\sqrt{3}$，BD=2，
∴△ABD為1：$\sqrt{3}$：2的直角三角形．
∵以P，G，A為頂點的三角形與△ABD相似，
∴∠PGA=∠ADB=90°，
∴$\frac{AG}{PG}$=$\sqrt{3}$或$\frac{PG}{AG}$=$\sqrt{3}$．
設點P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）），則點G（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）），
∴AG=|$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）|，PG=|m+1|．
①當$\frac{AG}{PG}$=$\sqrt{3}$時，有|$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）|=$\sqrt{3}$|m+1|，
解得：m₁=0，m₂=-1（舍去），m₃=6．
此時點P的坐標為（6，7$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$）；
②當$\frac{PG}{AG}$=$\sqrt{3}$時，有$\sqrt{3}$|$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）|=|m+1|，
解得：m₄=2，m₅=-1（舍去），m₆=4．
此時點P的坐標為（2，-$\sqrt{3}$）或（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．
綜上可知：存在點P，使得以P，G，A為頂點的三角形與△ABD相似，點P的坐標為或（0，-$\sqrt{3}$）、（2，-$\sqrt{3}$）、（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）或（6，7$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、兩點間的距離公式、軸對稱中的最短路徑問題已經相似三角形的性質，解題的關鍵是：（1）由點的坐標利用待定系數法求函數解析式；（2）確定點M、N的位置；（3）找出關于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用相似三角形的性質找出邊與邊之間的關系，由邊與邊之間的關系找出方程是關鍵．