Question

18．已知拋物線y=ax²+bx+5（a≠0）經(jīng)過A（5，0），B（6，1）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax²+bx+5（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點C的坐標；
（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A重合）經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，求出當△OEF的面積取得最小值時，點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A（5，0），B（6，1）兩點利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進而得出點C的坐標；
（2）根據(jù)點A、B、C的坐標可以求出∠BAC=90°，從而得到△ABC就是直角三角形，所以點C即為所求的一個點P的，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出過點B的直線PB，與拋物線聯(lián)立求解即可得到另一個點P；
（3）根據(jù)點A、B、C的坐標可得∠OAE=∠OAF=45°，再根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠OEF=∠OFE=45°，∠EOF=90°然后根據(jù)等角對等邊可得OE=OF，然后利用直線AC的解析式設(shè)出點E的坐標，再利用勾股定理表示出OE的平方，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到面積的表達式，再利用二次函數(shù)的最值問題解答即可．

解答 解：（1））∵拋物線y=ax²+bx+5（a≠0）經(jīng)過A（5，0），B（6，1）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b+5=0}\\{36a+6b+5=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+5，
令x=0，則y=5，
所以，點C的坐標為（0，5）；
（2）假設(shè)存在，分兩種情況：如圖1，①過點B作BH⊥x軸于點H，
∵A（5，0），C（0，5），B（6，1），
∴OC=AO=1，AH=BH=1，
∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
點C（0，5）符合條件，
所以，P₁（0，5）；
②當∠ABP=90°時，過點B作BP∥AC交拋物線于點P，
∵A（5，0），C（0，5），
∴直線AC的解析式為y=-x+5，
設(shè)直線BP的解析式為y=-x+b，
則-6+b=1，
解得b=7，
∴直線BP：y=-x+7，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+7}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+5}\end{array}\right.$，

解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=1}\end{array}\right.$，
又∵點B（6，1），
∴點P的坐標為（-1，8），
綜上所述，存在點P₁（0，5），P₂（-1，8）；

（3）如圖2，∵A（5，0），C（0，5），B（6，1），
∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，
又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=180°-45°×2=90°，即△OEF是直角三角形；
∵點E在直線AC上：y=-x+5，
∴設(shè)點E（x，-x+5），
根據(jù)勾股定理，OE²=x²+（-x+5）²，
=2x²-10x+25，
所以，S_△OEF=$\frac{1}{2}$OE•OF=$\frac{1}{2}$OE²=x²-5x+12.5=（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
所以，當x=$\frac{5}{2}$時，S_△OEF取最小值$\frac{25}{4}$，
此時-x+5=-$\frac{5}{2}$+5=$\frac{5}{2}$，
所以，點E的坐標（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合，主要利用了拋物線與x軸的交點間的距離的表示，拋物線上點的坐標特征，直角三角形的判定，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，（3）題，根據(jù)點A、B、C的坐標求出45°角，從而得到直角或相等的角是解題的關(guān)鍵，題目構(gòu)思靈活，數(shù)據(jù)設(shè)計巧妙．