Question

如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC，AF與CE的延長線相交于點F，連接BF．   
（1）求證：AF=DC；
（2）若∠BAC=90°，求證：四邊形AFBD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據中點定義可得AE=ED，再根據平行線的性質可得∠1=∠2，再有∠AEF=∠DEC可以利用AAS定理證明△AEF≌△DEC，再根據全等三角形對應邊相等證出AF=DC；
（2）首先證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據直角三角形的性質：斜邊上的中線等于斜邊的一半證明AD=BC，再由D是BC的中點，可得BD=CD=BC，進而得到AD=BD，即可根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證出結論．
解答：（1）證明：∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△DEC中，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=DC；

（2）證明：∵D是BC的中點，
∴DB=CD=BC，
∵AF=CD，
∴AF=DB，
∵AF∥BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，D為BC中點，
∴AD=CB=DB，
∴四邊形AFBD是菱形．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定，關鍵是掌握：①全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA；②菱形的判定方法：菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．