Question

已知：拋物線C₁：y=-

3

16

（x+4）²+3向右平移4個單位后得到拋物線C₂．
（1）寫出拋物線C₂的函數(shù)解析式；
（2）如果拋物線C₂交x軸于點A，B（點A在點B的左邊），交y軸于點P，聯(lián)結(jié)PB，求線段PB的長；
（3）另有一條與拋物線C₂不同的拋物線C₃，它經(jīng)過點B，頂點為Q，對稱軸與x軸交于點D，且以Q，D，B為頂點的三角形與以P，O，B為頂點的三角形全等，請求出滿足條件的頂點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的頂點坐標(biāo)，然后寫出解析式即可；
（2）令y=0，解方程求出點B的坐標(biāo)，再令x=0求出與y軸的交點坐標(biāo)，然后利用勾股定理列式計算即可得解；
（3）求出OB、OP的長，然后分BD和OB，BD和OP是對應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等求出BD、DQ，再求出OD，然后分別寫出點Q的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）拋物線C₁的頂點坐標(biāo)為（-4，3），
∵向右平移4個單位后得到拋物線C₂，
∴拋物線C₂的頂點坐標(biāo)為（0，3），
∴拋物線C₂的函數(shù)解析式為y=-

3

16

x²+3；

（2）令y=0，則-

3

16

x²+3=0，
解得x=±4，
∵點A在點B的左邊，
∴B（4，0），
令x=0，則y=3，
∴點P的坐標(biāo)為（0，3），
由勾股定理得，PB=

OB2+OP2

=

42+32

=5；

（3）∵B（4，0），P（0，3），
∴OB=4，OP=3，
①BD和OB時，△BOP≌△BDQ，
所以BD=BO=4，DQ=OP=3，
若點D在點B的左邊，則點D與點O重合，
∵拋物線C₂不同的拋物線C₃，
∴點Q（0，-3），
若點D在點B的右邊，則OD=4+4=8，
點Q的坐標(biāo)為（8，3）或（8，-3），
②BD和OP是對應(yīng)邊時，△BOP≌△QDB，
所以，BD=OP=3，DQ=OB=4，
若點D在點B的左邊，則OD=OB-BD=4-3=1，
所以，點Q的坐標(biāo)為（1，4）或（1，-4），
若點D在點B的右邊，則OD=OB+BD=4+3=7，
點Q的坐標(biāo)為（7，4）或（7，-4），
綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（0，-3）或（8，3）或（8，-3）或（1，4）或（1，-4）或（7，4）或（7，-4）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線與x軸的交點問題，全等三角形的對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，難點在于（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等分情況討論．