Question

20．已知直線l₁：y=-$\frac{3}{4}x+3$與直線l₂：y=kx-$\frac{16}{3}$交于x軸上的同一個點A，直線l₁與y軸交于點B，直線l₂與y軸的交點為C．
（1）求k的值，并作出直線l₂圖象；
（2）若點P是線段AB上的點且△ACP的面積為15，求點P的坐標；
（3）若點M、N分別是x軸上、線段AC上的動點（點M不與點O重合），是否存在點M、N，使得△ANM≌△AOC？若存在，請求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對于直線l₁，令y=0求出x的值，確定出A坐標，代入直線l₂求出k的值，作出直線l₂圖象即可；
（2）設P（a，b），△ACP面積=△ABC面積-△BPC面積，根據已知三角形ACP面積求出a的值，進而求出b的值，確定出P坐標即可；
（3）如圖2，作ND⊥x軸于D，利用勾股定理求出AC的長，由△ANM≌△AOC，得到對應邊相等，表示出AM，AN，MN，確定出△AMN為直角三角形，利用面積法求出ND的長，確定出N縱坐標，進而求出橫坐標，確定出N坐標即可．

解答 解：（1）∵直線l₁：y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸交于點A，
∴令y=0時，x=4，即A（4，0），
將A（4，0）代入直線l₂：y=kx-$\frac{16}{3}$，得k=$\frac{4}{3}$，
直線l₂圖象如圖1所示；

（2）設P（a，b），
根據題意得：S_△ACP=S_△ABC-S_△PBC=$\frac{1}{2}$×（3+$\frac{16}{3}$）×4-$\frac{1}{2}$×（3+$\frac{16}{3}$）a=15，
解得：a=$\frac{2}{5}$，
將P（$\frac{2}{5}$，b）代入直線l₁得：b=$\frac{2}{5}$×（-$\frac{3}{4}$）+3=-$\frac{3}{10}$+3=$\frac{27}{10}$，
∴點P的坐標（$\frac{2}{5}$，$\frac{27}{10}$）；
（3）如圖2，作ND⊥x軸于D，

∵AC=$\sqrt{{4}^{2}+（{\frac{16}{3}）}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，△ANM≌△AOC，
∴AM=AC=$\frac{20}{3}$，AN=AO=4，MN=OC=$\frac{16}{3}$，∠ANM=∠AOC=90°，
∵S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•ND=$\frac{1}{2}$AN•MN，
∴ND=$\frac{AN•MN}{AM}$=$\frac{4×\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}}$=$\frac{16}{5}$，
將N的縱坐標y=-$\frac{16}{5}$代入直線l₂得：x=$\frac{8}{5}$，
∴當N的縱坐標為（$\frac{8}{5}$，-$\frac{16}{5}$）時，△ANM≌△AOC．

點評 此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，全等三角形的性質，勾股定理，三角形面積，以及坐標與圖形性質，熟練掌握一次函數的性質是解本題的關鍵．