Question

12．將直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形（也稱為直線的坐標(biāo)三角形）．如圖，一次函數(shù)y=kx-7的圖象與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，那么△ABO為此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形（也稱直線AB的坐標(biāo)三角形）．
（1）如果點(diǎn)C在x軸上，將△ABC沿著直線AB翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)D（0，18）上，求直線BC的坐標(biāo)三角形的面積；
（2）如果一次函數(shù)y=kx-7的坐標(biāo)三角形的周長是21，求k的值；
（3）在（1）條件下，如果點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，8），直線AB上有一點(diǎn)P，使得△PDE周長最小，且點(diǎn)P正好落在某一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到OB=7，由翻折的性質(zhì)可知BC=BD=25，依據(jù)勾股定理可求得OC的長，依據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（2）設(shè)OA=x，則AB=14-x，在Rt△AOB中，由勾股定理可求得OA的長，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由A、B的坐標(biāo)可求得直線AB的解析式；
（3）連接CE交AB于點(diǎn)P，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)當(dāng)點(diǎn)C、P、E在一條直線上時(shí)，△DPE的周長最小，然后再求得直線CE的解析式，將AB的解析式與CE的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求得反比例函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）∵將x=0代入y=kx-7得y=-7，
∴B（0，-7）．
∴OB=7．
又∵D（0，18），
∴OD=18．
∴BD=25．
由翻折的性質(zhì)可知；BC=BD．
∵BC=25，OB=7，
∴OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}$=24．
∴直線BC的坐標(biāo)三角形的面積=$\frac{1}{2}$OC•OB=$\frac{1}{2}$×24×7=84．
（2）設(shè)OA=x，則AB=14-x．
∵在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB²=OA²+OB²，即（14-x）²=x²+7²，解得：x=5.25，
∴A（-$\frac{21}{4}$，0）．
∵將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=kx-7得：-$\frac{21}{4}$k-7=0，解得：k=-$\frac{4}{3}$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-7．
（3）如圖：連接CE交AB于點(diǎn)P．

∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱，
∴PC=PD．
∴PD+PE=PC+PE．
∴當(dāng)點(diǎn)C、P、E在一條直線上時(shí)，PC+PE有最小值．
又∵DE的長度不變，
∴當(dāng)點(diǎn)C、P、E在一條直線上時(shí)，△DPE的周長最�。�
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b．
∵將C（-24，0），E（0，8）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{-24k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{3}$，b=8，
∴直線EC的解析式為y=$\frac{1}{3}x$+8．
∵將y=$\frac{1}{3}x$+8與y=-$\frac{4}{3}$x-7聯(lián)立，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-9}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴P（-9，5）．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$．
∵k=xy=-9×5=-45，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{45}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了翻折的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、方程組與交點(diǎn)坐標(biāo)、軸對(duì)稱路徑最短等知識(shí)點(diǎn)，明確當(dāng)點(diǎn)C、P、E在一條直線上時(shí)，△DPE的周長最小是解題的關(guān)鍵．