Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）AC=

 

cm，BC=

 

cm；
（2）當t=5（s）時，試在直線PQ上確定一點M，使△BCM的周長最小，并求出該最小值；
（3）設(shè)點P的運動時間為t（s），△PBQ的面積為y（cm2），當△PBQ存在時，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（4）探求（3）中得到的函數(shù)y有沒有最大值？若有，求出最大值；若沒有，說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，設(shè)AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長；
（2）根據(jù)所給的條件求出AP和CQ的長，得出PQ垂直平分AC，再根據(jù)三角形的面積公式求出當點M在點P處時，CM+BM=AP+BP=AB為最短，從而得出△BCM周長的最小值；
（3）分別從當點Q在邊BC上運動與當點Q在邊CA上運動去分析，首先過點Q作AB的垂線，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得△PBQ的底與高，則可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）分兩種情況討論，當0＜t≤3時和3＜t＜7時，根據(jù)（3）求出的y與t的函數(shù)關(guān)系式，分別進行整理，即可得出答案．

解答：解：（1）設(shè)AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
則AC=8cm，BC=6cm；
故答案為：8，6；

（2）如圖1：∵點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，
∴當t=5時，AP=5，
∵點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，
∴CQ=4，
∴PQ為△ABC的中位線，
∴PQ垂直平分AC，
∴CM=AM，CP=AP，
∴△BCM的周長是：BC+CM+BM=6+CM+BM，
∴當點M在點P處時，CM+BM=AP+BP=AB為最短，
此時，△BCM的周長最小，最小值為：6+10=16；

（3）如圖2：當Q在BC上運動時，過Q作QH⊥AB于H，
∵AP=t，BQ=2t，
∴PB=10-t，
∵△BQH∽△BAC，
∴

2t

10

=

QH

8

，
∴QH=

8

5

t，
∴y=

1

2

•（10-t）•

8

5

t=

4

5

t2+8t（0＜t≤3）；
如圖3：當Q在CA上運動時，過Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=t，BQ=2t，
∴PB=10-t，AQ=14-2t，
∵△AQH′∽△ABC，
∴

14-2t

10

=

QH′

6

，
∴QH′=

3

5

（14-2t），
∴y=

1

2

•（10-t）•

3

5

（14-2t）=

3

5

t²-

51

5

t+42（3＜t＜7），

（4）當0＜t≤3時，y=-

4

5

t²+8t=-

4

5

t²+8t，
則當t=3時，y_max=

84

5

，
當3＜t＜7時，y=

3

5

t²-

51

5

t+42=

3

5

（t-

17

2

）²-

27

20

無最大值，
則當t=3時，y_max=

84

5

．

點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及最短距離問題．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．