Question

如圖，已知等邊△ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，連結(jié)GD．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）求FG的長(zhǎng)；
（3）求tan∠FGD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,等邊三角形的性質(zhì),解直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判斷OD∥AC，又DF⊥AC，則OD⊥DF，根據(jù)切線的判定定理可得DF是⊙O的切線；
（2）先證明OD為△ABC的中位線，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CF=

1

2

CD=3，所以AF=AC-CF=9，然后在Rt△AFG中，根據(jù)正弦的定義計(jì)算FG的長(zhǎng)；
（3）過(guò)D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出FG∥DH，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=

1

2

BD=3，DH=

3

BH=3

3

．解Rt△AFG，得AG=

1

2

AF=

9

2

，則GH=AB-AG-BH=

9

2

，于是根據(jù)正切函數(shù)的定義得到tan∠GDH=

GH

DH

=

3

2

，則tan∠FGD可求．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，
而OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形，∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；

（2）解：∵OD∥AC，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OD為△ABC的中位線，
∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

CD=3，
∴AF=AC-CF=12-3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，
∴FG=AF×sinA=9×

3

2

=

9 3

2

；

（3）解：過(guò)D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=

1

2

BD=3，DH=

3

BH=3

3

．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=

1

2

AF=

9

2

，
∵GH=AB-AG-BH=12-

9

2

-3=

9

2

，
∴tan∠GDH=

GH

DH

=

9 2

3 3

=

3

2

，
∴tan∠FGD=tan∠GDH=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)．