Question

5．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，CH⊥EF于H，連接DH，求證：
（1）EH=FH；
（2）∠CAB=2∠CDH．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AFD=∠AEC，證得∠CFE=∠CEF，得到CF=CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）由于∠ADF=∠CHF=90°，∠AFD=∠CFH，得到△ADF∽△CFH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CF}{AF}=\frac{HF}{DF}$，由于∠AFC=∠DFH，得到△AFC∽△DFH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CAF=∠CDH，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠CAE+∠AEC=∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠AEC，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∵CH⊥EF，
∴HE=HF；

（2）∵∠ADF=∠CHF=90°，∠AFD=∠CFH，
∴△ADF∽△CFH，
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{HF}{DF}$，
∵∠AFC=∠DFH，
∴△AFC∽△DFH，
∴∠CAF=∠CDH，
∵∠CAD=2∠CAF，
∴∠CAB=2∠CDH．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．