Question

如圖，拋物線y=x²+mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是它的頂點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直線PC的解析式；
（3）請(qǐng)?zhí)骄恳渣c(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓與直線PC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)：≈1.41，≈1.73，≈2.24）

Answer 1

解：（1）由已知條件可知：拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)．
∴，
解得m=1，n=-．

（2）∵y=x²+x-，
∴P（-1，-2），C．
設(shè)直線PC的解析式是y=kx+b，則，
解得k=，b=-，
∴直線PC的解析式是y=x-．

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC，垂足為E．
設(shè)直線PC與x軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．
在Rt△OCD中，
∵OC=，OD=3，
∴．
∵OA=3，OD=3，
∴AD=6．
∵∠COD=∠AED=90°，∠CDO公用，
∴△COD∽△AED．
∴，即．
∴AE=≈2.688＞2.5
∴以點(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓與直線PC相離．
分析：（1）由已知可得A（-3，0）、B（1，0），代入拋物線解析式，可求m，n值；（2）由已知的二次函數(shù)解析式可求P，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求直線PC的解析式；（3）關(guān)鍵是求點(diǎn)A到直線PC的距離，再與圓的半徑2.5進(jìn)行比較；為此，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC，垂足為E，由△COD∽△AED，求出兩個(gè)三角形中相關(guān)線段長(zhǎng)，利用相似比求AE；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式的求法，拋物線上特殊點(diǎn)的運(yùn)用，及直線與圓的位置關(guān)系的判定．