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18.如圖,AB是半⊙O的直徑,點(diǎn)C在半⊙O上,∠B=∠DCA,AD∥BC,連結(jié)OD、AC.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若ACBC=52,OD=36,求AB的長.

分析 (1)首先連接OC,AB是⊙O的直徑,易證得∠1+∠B=90°,又由OA=OC,則可證得∠1=∠2,由∠B=∠DCA,從而求得∠2+∠DCA=90°,即CD是⊙O的切線;
(2)由已知條件和圓周角定理易證△CAB∽△DAC,由AC:BC的值可設(shè)AC=5k,則BC=2k,由勾股定理可得AB=3k,繼而表示出DC的長,然后由勾股定理建立關(guān)于k的方程,解方程即可得到問題答案.

解答 (1)證明:連結(jié)OC.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠1+∠B=90°,
又∵OA=OC,
∴∠1=∠2,
∴∠2+∠B=90°,
∵∠DCA=∠B,
∴∠DCA+∠2=90°,
即OC⊥DC,
∴CD是⊙O的切線;
(2)∵AD∥BC,AB是⊙O的直徑,
∴∠DAC=∠ACB=90°,
∵∠1+∠B=90°,∠2+∠3=90°,∠1=∠2,
∴∠B=∠3,
∴△CAB∽△DAC,
ACDA=BCAC=ABDC,
ACBC=52,
∴設(shè)AC=5k,BC=2k,則AB=3k,
3kDC=2k5k
∴DC=35k2,
在△ODC中,OD=36,OC=12AB=32k,
∴(362=(32k)2+(352k)2
∴解得:k=2,
∴AB=3k=6.

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

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