Question

如圖所示，在?ABCD中，AC⊥BC，AC=BC=2，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C移動，過點(diǎn)P分別作PM∥AB，PN∥AD，連結(jié)AM，設(shè)AP=x，△AMP的面積為y．
（1）四邊形PMCN是不是菱形，請說明理由．
（2）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）四邊形PMCN不可能是菱形，
理由：∵PM∥AB，
∴PM∥CN，
同理可得：PN∥MC，
∴四邊形PMCN是平行四邊形，
∵AC⊥BC，
∴△PCM為直角三角形，
∴PM＞MC，
∴四邊形PMCN不可能是菱形；

（2）在△ACB中，
∵CA=CB=2，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
又∵PM∥AB，
∴∠CPM=∠CMP=45°，
∴CP=CM，
∴AP=BM=x，
∴MC=BC-BM=2-x，
S_△AMP=AP×MC=x×（2-x），
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+x．
分析：（1）首先得出四邊形PMCN是平行四邊形，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出PM＞MC，即可得出四邊形PMCN不可能是菱形；
（2）利用CA=CB=2，∠ACB=90°，得出∠CAB=∠CBA=45°，進(jìn)而求出CP=CM，則AP=BM=x，MC=BC-BM=2-x，再利用三角形面積求法得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)和三角形面積求法和等腰三角形的性質(zhì)等知識，得出AP=BM是解題關(guān)鍵．