Question

（2006•湖州）已知如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA=，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=______度，P點(diǎn)坐標(biāo)為______

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△OAC中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出∠CAO的度數(shù)，以及∠OCA的度數(shù)．而∠PCA=∠OCA∠BCA=∠CAO，則：∠PCB就可以求出．在直角△PCG中，根據(jù)三角函數(shù)可以求得CG，PG的長(zhǎng)，從而得到P的坐標(biāo)．
（2）P、A兩點(diǎn)的坐標(biāo)容易得到，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．求出b，c的值．C點(diǎn)的坐標(biāo)已知，代入函數(shù)的解析式，就可以判斷是否在函數(shù)的圖象上．
（3）過點(diǎn)M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F，過點(diǎn)P作PG⊥x軸交CB于G，根據(jù)S_△CMP=s_△CME+S_△PME，四邊形MCAP的面積就可以表示成OF的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，就可以求出最值．
解答：解：（1）30，（，）

（2）∵點(diǎn)P（，），A（，0）在拋物線上，
∴
∴
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+1
C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）
∵-×0²+×0+1=1
∴C點(diǎn)在此拋物線上．

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形MCAP的面積最大．
∵△ACP面積為定值，
∴要使四邊形MCAP的面積最大，只需使△PCM的面積最大．
過點(diǎn)M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F，過點(diǎn)P作PG⊥x軸交CB于G．
S_△CMP=s_△CME+S_△PME=ME•CG=ME
設(shè)M（x，y），
∵∠ECN=30°，CN=x，
∴EN=x
∴ME=MF-EF=-x²+x
∴S_△CMP=-x²+x
∵a=-＜0，
∴S有最大值．
當(dāng)x=時(shí)，S的最大值是，
∵S_△MCAP=s_△CPM+S_△ACP
∴四邊形MCAP的面積的最大值為
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）
所以存在這樣的點(diǎn)M（，），使得四邊形MCAP的面積最大，其最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，最值問題基本的解決思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．