如圖,點(diǎn)C是直徑為4的半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與A、B兩點(diǎn)不重合),CD⊥AB于D,點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn),設(shè)BD=x,DP=y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(2)如果∠B=
1
2
∠A,求BD的長(zhǎng).
考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì),解一元二次方程-公式法,圓周角定理
專題:
分析:(1)連接OP,由垂徑定理得到OP與AC垂直,又CD與AB垂直,得到一對(duì)直角相等,再由∠A為公共角,根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似,得到三角形AOP與三角形ACD相似,由相似得比例,再由直角三角形ACD中,P為斜邊AC的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AP=PD=y,由直徑為4得到圓的半徑OA=2,且AD=AB-BD=4-x,分別把表示出的各條邊代入得到的比例式中,即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式,根據(jù)x表示線段BD故x大于0,且負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根得到x小于4(D不與A、B重合,故x不等于4),從而得到函數(shù)的定義域;
(2)由∠B=
1
2
∠A得到∠A=2∠B,而AP=PD,根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠A=∠PDA,故∠PDA=2∠B,又∠PDA為三角形PDB的外角,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠PDA=∠B+∠BPD,等量代換得到∠BPD=∠PBD,根據(jù)等角對(duì)等邊得到PD=BD,即y=x,把(1)得到的函數(shù)關(guān)系式中y換為x,得到關(guān)于x的一元二次方程,求出方程的解即可得到BD的長(zhǎng).
解答:解:(1)連接OP,
∵P是AC的中點(diǎn),
∴OP⊥AC,又CD⊥AB,
∴∠OPA=∠CDA=90°,又∠OAP=∠CAD,
∴△AOP∽△ACD,
AP
AD
=
AO
AC
,
∵P為AC中點(diǎn),
∴AP=PC=
1
2
AC,又CD⊥AD,即△ADC為直角三角形,
∴DP=
1
2
AC,又AB=4,DP=y,BD=x,
∴AC=2y,AP=y,AO=2,AD=4-x,
y
4-x
=
2
2y
,
∴y=
4-x
(0<x<4);

(2)當(dāng)∠B=
1
2
∠A時(shí),
∵AP=DP,
∴∠A=∠PDA,
∵∠B=
1
2
∠A,即∠A=2∠B,
∴∠PDA=2∠B,又∠PDA為△PDB的外角,
∴∠PDA=∠B+∠BPD,
∴∠B=∠BPD,
∴DP=DB,
即y=x,即x2+x-4=0,
解得:x1=
-1+
17
2
,x2=
-1-
17
2
(舍去),
∴BD=
17
-1
2
點(diǎn)評(píng):綜合考查了相似三角形的判斷與性質(zhì),三角形的中位線定理,勾股定理以及一元二次方程的解法,是一道探究型的題,第一問(wèn)是探究?jī)勺兞恐g的關(guān)系,利用垂徑定理添加輔助線,構(gòu)造相似三角形是解本問(wèn)的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

重慶一中注重對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)培養(yǎng),每期都將開展豐富多彩的課外活動(dòng).3月中旬,在滿園的櫻花樹下,初一、二年級(jí)舉行了“讓我們一起靜聽花開的聲音”大型詩(shī)歌朗誦會(huì),年級(jí)各班級(jí)積極參與.學(xué)校為鼓勵(lì)同學(xué)們的積極性,對(duì)參與班級(jí)進(jìn)行了獎(jiǎng)勵(lì),分設(shè)一、二、三、四等級(jí)獎(jiǎng)勵(lì),在給予精神獎(jiǎng)勵(lì)的同時(shí)也給與一定的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì),為各個(gè)等級(jí)購(gòu)買了一個(gè)相應(yīng)的獎(jiǎng)品.根據(jù)獲獎(jiǎng)情況,某初三同學(xué)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,四個(gè)等級(jí)獎(jiǎng)勵(lì)的獎(jiǎng)品價(jià)格用表格表示.
等級(jí) 價(jià)格(元/個(gè))
一等 100
二等 60
三等 40
四等 20
(1)兩年級(jí)共有
 
個(gè)班級(jí)參加此次活動(dòng),其中獲得二等獎(jiǎng)的班級(jí)有
 
個(gè),請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,三等獎(jiǎng)所在扇形的圓心角的度數(shù)是
 
度,這些獎(jiǎng)品的平均價(jià)格是
 
元;
(3)在此次活動(dòng)中,獲得一等獎(jiǎng)的班級(jí)中有兩個(gè)班級(jí)來(lái)自初一年級(jí),獲得二等獎(jiǎng)的班級(jí)中也只有兩個(gè)班級(jí)來(lái)自初一年級(jí).學(xué)校準(zhǔn)備從獲得一、二等獎(jiǎng)的班級(jí)中各選出一個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加區(qū)級(jí)比賽,請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表格的方法求出所選班級(jí)來(lái)自同一年級(jí)的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

“一方有難,八方支援”是我們中華名族的傳統(tǒng)美德.當(dāng)四川雅安發(fā)生7.0級(jí)地震之后,我市迅速調(diào)集了1400頂帳篷和1600箱藥品.現(xiàn)要安排A型和B型兩種貨車將這批物質(zhì)運(yùn)往災(zāi)區(qū),已知A型貨車每輛可運(yùn)50頂帳篷和60箱藥品,B型貨車每輛可運(yùn)40頂帳篷和40箱藥品.問(wèn)題:
(1)需要安排A型和B型車輛各多少輛,恰好可以使物質(zhì)一次性運(yùn)往災(zāi)區(qū)?
(2)若A型貨車每輛費(fèi)用900元,B型貨車每輛費(fèi)用800元,易知A型貨車效益更高,求此次運(yùn)送物資最少需費(fèi)用多少元?(提示:貨車不一定要全部裝滿)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,根據(jù)下列條件,可以判定哪兩條直線平行?并說(shuō)明判定的根據(jù)是什么.
①∠2=∠B;
②∠1=∠D;
③∠3+∠F=180°.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知A村莊的坐標(biāo)分別為(2,2),一輛汽車在x軸上行駛,從原點(diǎn)O出發(fā).
(1)汽車行駛到什么位置時(shí)離A村最近?在圖中找出該點(diǎn)并寫出此點(diǎn)的坐標(biāo)
(2)這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?為什么?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,M為BC的中點(diǎn),∠ABC=2∠ACB.

(1)如圖1,N是AC的中點(diǎn),連接DN,MN,求證:DM=
1
2
AB.
(2)在圖2中,DM=
1
2
AB是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,試說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm,AB為⊙O的直徑,動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開始向D以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開始向B以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).
(1)求⊙O的直徑.
(2)求運(yùn)動(dòng)t秒后,四邊形PQCD的面積.
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使直線PQ與⊙O相切?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

解方程:
x
2x-5
+
5
5-2x
=1;       
1-x
x-2
+2=
1
2-x

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

化簡(jiǎn)求值,當(dāng)x=
1
3
-2
時(shí),求代數(shù)式x2+4x-4的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案