Question

6．如圖，拋物線y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點．
（1）△AOB的外接圓的面積$\frac{225}{4}$π；
（2）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．
①是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由
②當點M運動到何處時，△BNA的面積最大？求出此時點M的坐標及△BNA的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）將y=0代入y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12，解方程$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12=0，求出x的值，得到A，C的坐標；將x=0代入y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12，求出y的值，得到B點坐標，在直角△AOB中運用勾股定理求出AB的長，則△AOB的外接圓的半徑為$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)圓的面積公式求解即可；
（2）先運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-12，再設點M的橫坐標為x，則M（x，$\frac{4}{3}$x-12），N（x，$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12）．
①若四邊形OMNB為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得出MN=OB=12，據(jù)此列出方程（$\frac{4}{3}$x-12）-（$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12）=12，由判別式△＜0即可判斷出不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；
②根據(jù)S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB，計算得出S_△ABN=-2x²+18x=-2（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{2}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質得出當x=$\frac{9}{2}$時，S_△ABN有最大值$\frac{81}{2}$，進而求出此時點M的坐標．

解答 解：（1）∵y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12，
∴當y=0時，$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12=0，
解得：x₁=9，x₂=-3，
∴A（9，0），C（-3，0）；
當x=0時，y=-12，
∴B（0，-12），
∴OA=9，OB=12，∴AB=15，
∴S=π•（$\frac{15}{2}$）²=$\frac{225}{4}$π；
故答案為：$\frac{225}{4}$π；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（9，0），B（0，-12），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
∴直線AB的函數(shù)關系式為：y=$\frac{4}{3}$x-12．
設點M的橫坐標為x，則M（x，$\frac{4}{3}$x-12），N（x，$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12）．
①若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN=OB=12，
即（$\frac{4}{3}$x-12）-（$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12）=12，
整理，得x²-9x+27=0，
∵△=81-101＜0，
∴此方程無實數(shù)根，
∴不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；

②∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×12×9=54，S_△OBN=$\frac{1}{2}$×12•x=6x，S_△OAN=$\frac{1}{2}$×9×（-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{8}{3}$x+12）=-2x²+12x+54，
∴S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=6x+（-2x²+12x+54）-54=-2x²+18x=-2（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{2}$，
∴當x=$\frac{9}{2}$時，S_△ABN有最大值$\frac{81}{2}$，
此時M（$\frac{9}{2}$，-6）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、勾股定理、三角形的外接圓、平行四邊形的性質，三角形的面積求法、二次函數(shù)的最值．綜合性較強，利用數(shù)形結合表示出△ABN的面積是解題關鍵．