Question

9．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．
（1）求邊AB的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MDB的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形AOB中，由OA與OB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可；
（2）過(guò)C作y軸垂線(xiàn)，過(guò)D作x軸垂線(xiàn)，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，可得三角形CBE與三角形ADF與三角形AOB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，確定出C與D坐標(biāo)即可；
（3）作出B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接B′D，與x軸交于點(diǎn)M，連接BD，BM，此時(shí)△MDB周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)M的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）對(duì)于直線(xiàn)y=$\frac{1}{2}$x+1，令x=0，得到y(tǒng)=1；令y=0，得到x=-2，
∴A（-2，0），B（0，1），
在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；   
（2）作CE⊥y軸，DF⊥x軸，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，

∵正方形ABCD，
∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，
∴△BCE≌△DAF≌ABO，
∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，
∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，
∴C（-1，3），D（-3，2）；
（3）找出B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接B′D，與x軸交于點(diǎn)M，此時(shí)△BMD周長(zhǎng)最小，

∵B（0，1），
∴B′（0，-1），
設(shè)直線(xiàn)B′D的解析式為y=kx+b，
把B′與D坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{-3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，即直線(xiàn)B′D的解析式為y=-x-1，
令y=0，得到x=-1，即M（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．