Question

如圖，在菱形ABCD中，AC、BD相交于點O，E為AB的中點，并且DE⊥AB，若AB=4，求：
（1）∠ABC的度數(shù)；
（2）對角線AC的長；
（3）菱形ABCD的面積．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由在菱形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為AB的中點，且DE⊥AB，易得△ABD是等邊三角形，繼而求得∠ABC的度數(shù)．
（2）由（1）可求得AD與AE的長，然后由勾股定理求得DE的長，即可得出AO的長；
（3）利用菱形的性質(zhì)求得菱形ABCD的面積．

解答：解：（1）∵E為AB的中點，且DE⊥AB，
∴AD=BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠ABC=120°；

（2）∵AB=4，
∴AD=AB=4，AE=

1

2

AB=2，
∴DE=

AD2-AE2

=2

3

，
∵△ABD是等邊三角形，AO⊥BD，DE⊥AB，
∴AO=DE=2

3

，
∴AC=4

3

；

（3）S_菱形ABCD=AB•DE=4×2

3

=8

3

．

點評：此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．