【題目】操作:如圖,邊長為2的正方形ABCD,點(diǎn)P在射線BC上,將△ABP沿AP向右翻折,得到△AEP,DE所在直線與AP所在直線交于點(diǎn)F.
探究:(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),①若∠BAP=30°,求∠AFE的度數(shù);②若點(diǎn)E恰為線段DF的中點(diǎn)時(shí),請(qǐng)通過運(yùn)算說明點(diǎn)P會(huì)在線段BC的什么位置?并求出此時(shí)∠AFD的度數(shù).
歸納:(2)若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)(不與B,C重合),∠AFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論;
猜想:(3)如圖2,若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時(shí),∠AFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化?試在圖中畫出圖形,并直接寫出結(jié)論.
【答案】(1)①45°;②BC的中點(diǎn),45°;(2)不會(huì)發(fā)生變化,證明參見解析;(3)不會(huì)發(fā)生變化,作圖參見解析.
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),①由折疊得到一對(duì)角相等,再利用正方形性質(zhì)求出∠DAE度數(shù),在三角形AFD中,利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可;②由E為DF中點(diǎn),得到P為BC中點(diǎn),如圖1,連接BE交AF于點(diǎn)O,作EG∥AD,得EG∥BC,得到AF垂直平分BE,進(jìn)而得到三角形BOP與三角形EOG全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BP=EG=1,得到P為BC中點(diǎn),進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可;(2)若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)(不與B,C重合),∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化,作AG⊥DF于點(diǎn)G,如圖1(a)所示,利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì),根據(jù)等式的性質(zhì)求出∠1+∠2的度數(shù),即為∠FAG度數(shù),即可求出∠F度數(shù);(3)作出相應(yīng)圖形,如圖2所示,若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時(shí),∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化,理由為:作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,設(shè)∠DAG=∠EAG=α,根據(jù)∠FAE為∠BAE一半求出所求角度數(shù)即可.
試題解析:(1)①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),∵∠EAP=∠BAP=30°,∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=30°,∴∠ADE=∠AED=(180°﹣30°)÷2=75°,在△AFD中,∠FAD=30°+30°=60°,∠ADF=75°,∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°;②點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)時(shí),P也為BC的中點(diǎn),理由如下:
如圖1,連接BE交AF于點(diǎn)O,作EG∥AD,得EG∥BC,∵EG∥AD,DE=EF,∴EG=AD=1,∵AB=AE,∴點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上,同理可得點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上,∴AF垂直平分線段BE,∴OB=OE,∵GE∥BP,∴∠OBP=∠OEG,∠OPB=∠OGE,∴△BOP≌△EOG,∴BP=EG=1,即P為BC的中點(diǎn),∴∠DAF=90°﹣∠BAF,∠ADF=45°+∠BAF,∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°;(2)∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化,作AG⊥DF于點(diǎn)G,如圖1(a)所示,
在△ADE中,AD=AE,AG⊥DE,∵AG平分∠DAE,即∠2=∠DAG,且∠1=∠BAP,∴∠1+∠2=×90°=45°,即∠FAG=45°,則∠AFD=90°﹣45°=45°;(3)如圖2所示,∠AFE的大小不會(huì)發(fā)生變化,∠AFE=45°,
作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,設(shè)∠DAG=∠EAG=α,∴∠BAE=90°+2α,∴∠FAE=∠BAE=45°+α,∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°,在Rt△AFG中,∠AFE=90°﹣45°=45°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=20°,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),將OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角時(shí)(0°<α<180°),得到OP,當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí),α的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】PM2.5“超細(xì)灰塵”主要來自機(jī)動(dòng)車尾氣塵、燃油塵、硫酸鹽、餐飲油煙塵、建筑水泥塵、煤煙塵和硝酸鹽等,它是霧霾有害細(xì)顆粒的重要組成部分.而PM2.5可直接被人體吸入肺部,由于其穿透力強(qiáng),因此對(duì)人類的危害非常大,PM2.5是指大氣中直徑小于或等于0.0000025m的顆粒物,將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.0.25×10﹣5
B.0.25×10﹣6
C.2.5×10﹣5
D.2.5×10﹣6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若a<0,ab<0,則|b﹣a+1|﹣|a﹣b﹣4|的值( )
A. 3 B. ﹣3 C. 2b﹣2a+5 D. 不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一個(gè)等腰三角形兩邊長之比為1:4,周長為18,則這個(gè)等腰三角形底邊長為( )
A.2B.6C.8D.2或8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)B,E在線段CD上,若∠C=∠D,則添加下列條件,不一定能使△ABC≌△EFD的是( )
A. BC=FD,AC=ED B. ∠A=∠DEF,AC=ED
C. AC=ED,AB=EF D. ∠ABC=∠EFD,BC=FD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國質(zhì)檢總局規(guī)定,針織內(nèi)衣等直接接觸皮膚的制品,每千克的衣物上甲醛含量應(yīng)在0.000075千克以下.將0.000075用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.7.5×105
B.7.5×10﹣5
C.0.75×10﹣4
D.75×10﹣6
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