Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜邊BC上的高，垂足為D，BE=1cm．點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，與點(diǎn)M同時(shí)同方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)，以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH．點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)G剛好落在線段AD上？
（2）設(shè)正方形MNGH與Rt△ABC重疊部分的圖形的面積為S，當(dāng)重疊部分的圖形是正方形時(shí)，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍．
（3）設(shè)正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點(diǎn)P，連接DP，當(dāng)t為何值時(shí)，△CPD是等腰三角形？

Answer 1

（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.

解析試題分析：（1）求出ED的距離即可求出相對(duì)應(yīng)的時(shí)間t.
（2）先求出t的取值范圍，分為H在AB上時(shí)，此時(shí)BM的距離，進(jìn)而求出相應(yīng)的時(shí)間．同樣當(dāng)G在AC上時(shí)，求出MN的長度，繼而算出EN的長度即可求出時(shí)間，再通過正方形的面積公式求出正方形的面積.
（3）分DP=PC和DC=PC兩種情況，分別由EN的長度便可求出t的值．
試題解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm
∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.
（1）∵當(dāng)G剛好落在線段AD上時(shí)，ED=BD﹣BE=3cm
∴t=s=3s．
（2）∵當(dāng)MH沒有到達(dá)AD時(shí)，此時(shí)正方形MNGH是邊長為1的正方形，令H點(diǎn)在AB上，
則∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1
∴BM=cm.∴t=s.
當(dāng)MH到達(dá)AD時(shí)，那么此時(shí)的正方形MNGH的邊長隨著N點(diǎn)的繼續(xù)運(yùn)動(dòng)而增大，令G點(diǎn)在AC上，
設(shè)MN=xcm，則GH=DH=x，AH=x，
∵AD=AH+DH=x+x=x=4，
∴x=3．
當(dāng)≤t≤4時(shí)，S_MNGN=1cm²．
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，S_MNGH=（t﹣3）²cm²
∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：.
（3）分兩種情況：
①∵當(dāng)DP=PC時(shí)，易知此時(shí)N點(diǎn)為DC的中點(diǎn)，∴MN=6cm
∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s
故當(dāng)t=9s的時(shí)候，△CPD為等腰三角形；
②當(dāng)DC=PC時(shí)，DC=PC=12cm
∴NC=6cm
∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm
∴t=（15﹣6）s
故當(dāng)t=（15﹣6）s時(shí)，△CPD為等腰三角形．
綜上所述，當(dāng)t=9s或t=（15﹣6）s時(shí)，△CPD為等腰三角形．
考點(diǎn)：1.雙動(dòng)點(diǎn)問題；2.銳角三角函數(shù)定義；3.特殊角的三角函數(shù)值；4.正方形的性質(zhì)；5.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；6.等腰三角形的性質(zhì)；7.分類思想的應(yīng)用.