Question

如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于點D，求證：BC²=2AC•CD．
（要求用三種方法解題）

Answer 1

證明：如圖一：
延長CA到E，CA=AE，連接BE，
則有∵AB=AC，∴AB=CE．
∴△CBE是直角三角形．
∴∠CBE是直角，（一邊上的中線等于這一邊長的一半的三角形是直角三角形）．
∴∠C=∠C，∠BDC=∠EBC=90°，
∴△BCD∽△ECB．
∴BC²=EC•CD=2AC•CD．

如圖二：
作AE⊥BC于E，
∴∠C=∠C，∠AEC=∠BDC=90°，
則有△ACE∽△BCD．
得．
即CE•BC=CD•AC．
從而得：BC²=2AC•CD．

如圖三：
在DA上截取DE=DC，連接BE，
則有△BCE∽△ACB．
得．
從而BC²=2AC•CD．
分析：通過不同的添加輔助線的方法運用相似三角形的判定方法判定其相似，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，從而便可得到結(jié)論．
點評：此題主要考查輔助線的添加及相似三角形的判定方法的運用．綜合性比較強，對學生分析問題的能力要求比較高．