Question

在△ABC中，AB=

3

，BC=1，∠ABC=30°，以AB為邊作等邊△ABD，連接CD，求線段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：分類(lèi)討論：當(dāng)△ABC和△ABD在AB的同側(cè)，由于△ABD為等邊三角形，則∠ABD=60°，而∠ABC=30°，所以BE平分∠ABD，于是可判斷點(diǎn)C為△ABC的外心，則CD=BC=1；
當(dāng)△ABC和△ABD在AB的異側(cè)，即△ABD′，在Rt△ABE中，∠ABE=30°，AB=

3

，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AE=

1

2

AB=

3

2

，BE=

3

AE=

3

2

，則CE=BE-BC=

1

2

，于是有CD′=BE+CE=

1

2

+

3

2

=2．

解答：解：如圖，
當(dāng)△ABC和△ABD在AB的同側(cè)，
∵△ABD為等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∵∠ABC=30°，
∴BE平分∠ABD，
∴BE垂直平分AD，
∴點(diǎn)C為△ABC的外心，
∴CD=BC=1；
當(dāng)△ABC和△ABD在AB的異側(cè)，即△ABD′，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，AB=

3

，
∴AE=

1

2

AB=

3

2

，
∴BE=

3

AE=

3

2

，
∴CE=BE-BC=

1

2

∴CD′=BE+CE=

1

2

+

3

2

=2，
即線段CD的長(zhǎng)為1或2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．