Question

14．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點B是y軸正半軸上一個定點，D是BO的中點．點C在x軸上，A在第一象限，且滿足AB=AO，N是x軸負半軸上一點，∠BCN=∠BAO=α．
（1）當點C在x軸正半軸上移動時，求∠BCA；（結(jié)果用含α的式子表示）
（2）當某一時刻A（20，17）時，求OC+BC的值；
（3）當點C沿x軸負方向移動且與點O重合時，α=90°，此時 以AO為斜邊在坐標平面內(nèi)作一個Rt△AOE（E不與D重合），則∠AED的度數(shù)的所有可能值有45°或135°．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）過A分別作AM⊥BC于E，AF⊥x軸于F，則∠AMB=∠AFO=90°，證明△ABM≌△AOF（AAS），得到AM=AF，進而證明CA平分∠BCF，所以$∠BCA=\frac{1}{2}∠BCF$，即可解答；
（2）由△ABM≌△AOF，△ACM≌△ACF，得到BM=OF，CM=CF，求出OC+BC=OC+OF+CF=2OF，由A（20，17），所以O(shè)F=20，即可得到OC+BC=40；
（3）當點C沿x軸負方向移動且與點O重合時，根據(jù)x軸與y軸垂直，即可得到α=90°，∠AED=45°或135°．

解答 解：（1）過A分別作AM⊥BC于E，AF⊥x軸于F，則∠AMB=∠AFO=90°，

設(shè)AO與BC交于點P，在△ABP和△COP中，∠BAO=∠BCN，∠BPA=∠CPO，
∴∠ABP=∠COP，
即∠ABM=∠AOF，
在△ABM和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠AFO}\\{∠ABM=∠AOF}\\{AB=AO}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△AOF（AAS），
∴AM=AF，
∴CA平分∠BCF，
∴$∠BCA=\frac{1}{2}∠BCF$．
∵∠BCN=α，
∴∠BCM=180°-α，
∴$∠BCA=90°-\frac{1}{2}α$；
（2）∵△ABM≌△AOF，△ACM≌△ACF，
∴BM=OF，CM=CF，
∵OC+BC=OC+BM+CM，
∴OC+BC=OC+OF+CF=2OF，
∵A（20，17），
∴OF=20，
∴OC+BC=40；
（3）當點C沿x軸負方向移動且與點O重合時，
∵x軸與y軸垂直，
∴α=90°，
此時 以AO為斜邊在坐標平面內(nèi)作一個Rt△AOE（E不與D重合），則∠AED的度數(shù)的所有可能值有∠AED=45°或135°．
故答案為：90；45°或135°．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．