Question

5．如圖，拋物線y=-x²+ax+8（a≠0）于x軸從左到右交于點A，B于y軸交于點C于直線y=kx+b交于點c和點D（m，5），tan∠DCO=1
（1）求拋物線與直線CD的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有點E，使EA+EC的值最小，求最小值和點E的坐標；
（3）點F為在直線CD上方的拋物線上任意一點，作FG⊥CD于點G，作FH∥y軸，與直線CD交于點H，求△FGH的周長的最大值和對應(yīng)的點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥x軸于點M，根據(jù)tan∠DCO=1，則∠DCM=45°，△CDM是等腰直角三角形，求得D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線和直線CD的解析式；
（2）首先求得A和B的坐標，以及拋物線的對稱軸，直線BC與對稱軸的交點就是點E，首先求得BC的解析式，則E的坐標即可求得；
（3）△FGH是等腰直角三角形，當FG最大時，△FGH的周長的最大，設(shè)與CD平行，且與拋物線只有一個公共點的直線，利用根的判別式即可求得直線的解析式，進而求得唯一的公共點，即F的坐標，求得△FGH的周長．

解答 解：（1）作DM⊥x軸于點M．
在y=-x²+ax+8中令x=0，則y=8，則C的坐標是（0，8），即OC=8．
∵D的縱坐標是5，
∴M的坐標是（0，5），即OM=5．
∴CM=OC-OM=8-5=3．
∵tan∠DCO=1，
∴∠DCM=45°，則△CDM是等腰三角形．
∴DM=CM=3，
∴D的坐標是（3，5）．
把（3，5）代入y=-x²+ax+8得：-9+3a+8=5，
解得：a=2．
則二次函數(shù)的解析式是y=-x²+2x+8；
設(shè)CD的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=5}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
則直線CD的解析式是y=-x+8；
（2）拋物線的對稱軸是x=1．
在y=-x²+2x+8中，令y=0，則-x²+2x+8=0，解得：x=4或-2．
則A的坐標是（-2，0），B的坐標是（4，0），BC=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，EA+EC的值最值是4$\sqrt{5}$．
設(shè)BC的解析式是y=dx+e，
則$\left\{\begin{array}{l}{4d+e=0}\\{e=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=-2}\\{e=8}\end{array}\right.$，
則BC的解析式是y=-2x+8．
令x=1，y=-2+8=6，
則E的坐標是（1，6）；
（3）設(shè)與CD平行，且與拋物線只有一個公共點的直線解析式是y=-x+d，
則-x²+2x+8=-x+d，
即x²-3x+（d-8）=0，
△=9-4（d-8）=0，解得：d=$\frac{41}{4}$．
當d=$\frac{41}{4}$時，x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{3}{2}$+$\frac{41}{4}$=$\frac{35}{4}$．
則F的坐標是（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）．
在y=-x+8中，令y=$\frac{35}{4}$，則-x+8=$\frac{35}{4}$，解得x=-$\frac{3}{4}$，即H的坐標是（-$\frac{3}{4}$，$\frac{35}{4}$）．
HF=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$．
則FG=HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
則△FGH的周長是2×$\frac{9\sqrt{2}}{8}$+$\frac{9}{4}$=$\frac{9（\sqrt{2}+1）}{4}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解直線與拋物線的交點的個數(shù)的判斷，求得F的坐標是解決本題的關(guān)鍵．