Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知頂點為P（0，2）的二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點，A點坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式，并寫出點B坐標(biāo)；
（2）點C在該二次函數(shù)的圖象上，且在第四象限，當(dāng)△ABC的面積為12時，求點C坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點D 在y軸上，且△APD與△ABC相似，求點D坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)和圖象上另一點的坐標(biāo)，所以利用頂點式方程來表示二次函數(shù)解析式；
（2）如圖，過點C作CH⊥x軸，垂足為H．設(shè)點C橫坐標(biāo)為m，則CH=

1

2

m2-2．由三角形的面積公式得

1

2

•[2-(-2)]•(

1

2

m2-2)=12，所以由點C所在的象限求得C（4，-6）；
（3）需要分類討論：①△APD∽△ABC；②△ADP∽△ABC．

解答：解：（1）設(shè)拋物線表達式為y=ax²+2（a≠0）．
把（2，0）代入解析式，解得a=-

1

2

．
所以 拋物線表達式為y=-

1

2

x2+2．則B（-2，0）；

（2）如圖，過點C作CH⊥x軸，垂足為H．
設(shè)點C橫坐標(biāo)為m，則CH=

1

2

m2-2．
由題意得

1

2

•[2-(-2)]•(

1

2

m2-2)=12，
解得m=±4．
∵點C在第四象限，
∴m=4．
∴C（4，-6）；

（3）∵PO=AO=2，∠POA=90°，
∴∠APO=45°．
∵BH=CH=6，∠CHB=90°，
∴∠CBA=45°．
∵∠BAC＜135°，
∴點D應(yīng)在點P下方，
∴在△APD與△ABC中，∠APD=∠CBA．
由勾股定理得PA=2

2

，BC=6

2

．
①當(dāng)

PD

AB

=

PA

BC

時，

PD

4

=

2 2

6 2

．解得PD=

4

3

．∴D1(0，

2

3

)；
②當(dāng)

PD

BC

=

PA

AB

時，

PD

6 2

=

2 2

4

．解得PD=6．∴D₂（0，-4）．
綜上所述，點D坐標(biāo)為(0，

2

3

)或（0，-4）．

點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)等二次函數(shù)綜合題．解答（3）題時，對于動點問題，一定要分類討論．