Question

（2007•南通）已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A（0，1）、B（0，3），第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．關(guān)于y軸對稱的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、D（3，-2）、P三點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)在x軸上．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，求PM+CM的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上，利用勾股定理求出OC的長，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；
（2）由于拋物線解析式關(guān)于y軸對稱，可知一次項(xiàng)系數(shù)為0，利用待定系數(shù)法，設(shè)出一般式，將A（0，1），D（3，-2）代入解析式即可求出二次函數(shù)解析式；根據(jù)軸對稱定義和角平分線的定義，利用特殊角判斷出則符合條件的點(diǎn)P就是直線BC與拋物線y=-x²+1的交點(diǎn)．
（3）根據(jù)軸對稱定義和性質(zhì)，作出C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C′，將求PM+CM的取值范圍轉(zhuǎn)化為求PM+C′M的取值范圍．
解答：解：（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且點(diǎn)C在x軸的正半軸上，
∴AC=AB=2，
∴OC==．
∴C（，0）．（2分）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，
∴k+3=0，
∴k=-．
∴直線BC的解析式為y=-x+3．（4分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對稱，
∴b=0．（5分）
又拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（0，1），D（3，-2）兩點(diǎn)．
∴
解得
∴拋物線的解析式是y=-x²+1．（7分）
在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分線．
∴直線BC與x軸關(guān)于直線AC對稱．
點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)在x軸上，則符合條件的點(diǎn)P就是直線BC與拋物線y=-x²+1的交點(diǎn)．（8分）
∵點(diǎn)P在直線BC：y=-x+3上，故設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，-x+3）．
又∵點(diǎn)P（x，-x+3）在拋物線y=-x²+1上，
∴-x+3=-x²+1．
解得x₁=，x₂=2．
故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（，0），P₂（2，-3）．（10分）

（3）要求PM+CM的取值范圍，可先求PM+C′M的最小值．
（I）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是OC=時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
故PM+CM=2CM．
顯然CM的最小值就是點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為，
∵點(diǎn)M是y軸上的動點(diǎn)，
∴PM+CM無最大值，
∴PM+CM≥2．（13分）
（II）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-3）時(shí)，由點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C′（-，0），
故只要求PM+MC'的最小值，顯然線段PC'最短．易求得PC'=6．
∴PM+CM的最小值是6．
同理PM+CM沒有最大值，
∴PM+CM的取值范圍是PM+CM≥6．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，0）時(shí)，PM+CM≥2，
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-3）時(shí)，PM+CM≥6．（15分）
點(diǎn)評：此題考查了對函數(shù)題綜合應(yīng)用和分析解答的能力．（1）（2）小題難度不大，主要應(yīng)用待定系數(shù)法即可解答，（3）要根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，將折線轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題來解答．