【題目】已知,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=,BC=3,在BC邊上取兩點(diǎn)E,F(點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)),以EF為邊作等邊三角形DEF,使頂點(diǎn)D與E在邊AC異側(cè),DE,DF分別交AC于點(diǎn)G,H,連結(jié)AD.
(1)如圖1,求證:DE⊥AC;
(2)如圖2,若∠DAC=30°,△DEF的邊EF在線段BC上移動(dòng).寫出DH與BE的數(shù)量關(guān)系并證明;
(3)若30°<∠DAC<60°,△DEF的周長為m,則m的取值范圍是 .
【答案】(1)見解析;(2)DH與BE的數(shù)量關(guān)系是:DH﹣BE=1,理由見解析;(3)6<m<9
【解析】
(1)先判斷出∠C=30°,再利用等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出AD∥BC,進(jìn)而判斷出四邊形ABEN是矩形,再用銳角三角函數(shù)求出ND=1,即可得出結(jié)論;
(3)先求出∠DAC=30°和60°時(shí)的等邊三角形的邊DE的長,即可得出結(jié)論.
解:(1)在Rt△ABC中,∵∠B=90°,AB=,BC=3,
∴tan∠C=
∴∠C=30°
∵△DEF是等邊三角形
∴∠DEF=60°
∴∠EGC=90°
∴DE⊥AC
(2)DH與BE的數(shù)量關(guān)系是:DH﹣BE=1
理由:如圖1,∵△DEF是等邊三角形
∴∠DFE=∠DEF=60°
∵∠DFE=∠C+∠CHF,∠C=30°
∴∠CHF=30°
∴∠DHA=30°
∵∠DAC=30°
∴∠DHA=∠DAC
∴DA=DH
過點(diǎn)E作EN⊥AD于N,則∠ANE=90°,
∵∠DAC=∠C=30°
∴AD‖BC
∴∠BEN=90
又∵∠B=90°
∴四邊形ABEN是矩形
∴AN=BE,AB=EN=
∵AD‖BC
∴∠DEF=∠NDE=60°
∴tan∠NDE═tan60°=
∴ND=1
∵AD﹣AN=ND,DA=DH,AN=BE
∴DH﹣BE=1,
(3)當(dāng)∠DAC=30°時(shí),平移DE,使其過點(diǎn)B時(shí),如圖2,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAD=90°,
∵∠ABC=90°,
∵△DEF是等邊三角形,
∴∠DBC=60°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABD=30°,
在Rt△ABD中,AB=,∠ABD=30°,
∴DE=DB=2,
由于∠ABD不變,∠DAC增加時(shí),∠BAD增加,即:DE增加,
∵∠DAC>30°,
∴DE>2,
∴m>2×3,
即:m>6,
當(dāng)∠DAC=60°時(shí),平移DE,使其過點(diǎn)B時(shí),如圖3,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAD=120°,
∵△DEF是等邊三角形,
∴∠DBC=60°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABD=30°,
∴∠ADB=30°=∠ABD,
∴AC⊥BD,BD=2BG,
在Rt△ABG中,AB=,∠ABD=30°,
∴BG=,
∴DE=BD=2BG=3,
∵BC=3,
此時(shí)點(diǎn)F和點(diǎn)C重合,
由于∠ABD不變,∠DAC減小時(shí),∠BAD減小,即:DE減小,
∵∠CAD<60°,
∴DE<3,
∴m<3×3,
∴m<9,
即:m的取值范圍是:6<m<9,
故答案為:6<m<9.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)今“微信運(yùn)動(dòng)”被越來越多的人關(guān)注和喜愛,某興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我市50名教師某日“微信運(yùn)動(dòng)”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表(不完整):
步數(shù) | 頻數(shù) | 頻率 |
0≤x<4000 | 8 | a |
4000≤x<8000 | 15 | 0.3 |
8000≤x<12000 | 12 | b |
12000≤x<16000 | c | 0.2 |
16000≤x<20000 | 3 | 0.06 |
20000≤x<24000 | d | 0.04 |
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)寫出a,b,c,d的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)本市約有37800名教師,用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過12000步(包含12000步)的教師有多少名?
(3)若在50名被調(diào)查的教師中,選取日行走步數(shù)超過16000步(包含16000步的兩名教師與大家分享心得,求被選取的兩名教師恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(﹣1,2),(2,1),若拋物線y=ax2﹣x+2(a≠0)與線段MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則a的取值范圍是( 。
A. a≤﹣1或≤a< B. ≤a<
C. a≤或a> D. a≤﹣1或a≥
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.
(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP、OP、OA.
①求證:△OCP∽△PDA;
②若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長.
(2)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn),求∠OAB的度數(shù);
(3)如圖2,在(1)的條件下,擦去折痕AO,線段OP,連結(jié)BP,動(dòng)點(diǎn)M在線段AP⊥(點(diǎn)M與點(diǎn)F、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明理由;說明理由;若不變,求出線段EF的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:四邊形ACED是平行四邊形;
(2)若BD=4,AC=3,求cos∠CDE的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A(a,b)是雙曲線y=(x>0)上的一點(diǎn),點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上的一動(dòng)點(diǎn),AC⊥y軸于C點(diǎn),過A作AD⊥x軸于D點(diǎn),連接AP交y軸于B點(diǎn).
(1)△PAC的面積是 ;
(2)當(dāng)a=2,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,0)時(shí),求△ACB的面積;
(3)當(dāng)a=2,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)時(shí),設(shè)△ACB的面積為S,試求S與x之間的函數(shù)關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)重復(fù)拋擲的實(shí)驗(yàn):全班48人分為8個(gè)小組,每組拋擲同一型號(hào)的一枚瓶蓋300次,并記錄蓋面朝上的次數(shù),下表是依次累計(jì)各小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.
1組 | 1~2組 | 1~3組 | 1~4組 | 1~5組 | 1~6組 | 1~7組 | 1~8組 | |
蓋面朝上次數(shù) | 165 | 335 | 483 | 632 | 801 | 949 | 1122 | 1276 |
蓋面朝上頻率 | 0.550 | 0.558 | 0.537 | 0.527 | 0.534 | 0.527 | 0.534 | 0.532 |
根據(jù)實(shí)驗(yàn),你認(rèn)為這一型號(hào)的瓶蓋蓋面朝上的概率為____,理由是:____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,A、C分別在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2),直線交AB,BC分別于點(diǎn)M,N,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M,N.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P在y軸上,且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(4,5).
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)求直線AB關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的函數(shù)表達(dá)式.
(3)點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線l,直線l與該拋物線交于點(diǎn)M,與直線AB交于點(diǎn)N.當(dāng)PM < PN時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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