Question

如圖，正六邊形ABCDEF中，點M在AB邊上，∠FMH=120°，MH與六邊形外角的平分線BQ交于點H．
（1）當點M不與點A、B重合時，求證：∠AFM=∠BMH．
（2）當點M在正六邊形ABCDEF一邊AB上運動（點M不與點B重合）時，猜想FM與MH的數(shù)量關系，并對猜想的結果加以證明．

Answer 1

（1）證明：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴每個內角均為120°．
∵∠FMH=120°，A、M、B在一條直線上，
∴∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，
∴∠AFM=∠BMH．

（2）解：猜想：FM=MH．
證明：①當點M與點A重合時，∠FMB=120°，MB與BQ的交點H與點B重合，有FM=MH．
②當點M與點A不重合時，
證法一：如圖1，連接FB并延長到G，使BG=BH，連接MG．
∵∠BAF=120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠FBA=30°．
∵，
∴△MBH≌△MBG，
∴∠MHB=∠MGB，MH=MG，
∵∠AFM=∠BMH，∠HMB+∠MHB=30°，
∴∠AFM+∠MGB=30°，
∵∠AFM+∠MFB=30°，
∴∠MFB=∠MGB．
∴FM=MG=MH．
證法二：如圖2，在AF上截取FP=MB，連接PM．
∵AF=AB，F(xiàn)P=MB，
∴PA=AM
∵∠A=120°，
∴∠APM=×（180°-120°）=30°，
有∠FPM=150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ=120°+30°=150°，
∴∠FPM=∠MBH，
由（1）知∠PFM=∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM=MH．
分析：（1）先有正多邊形的內角和定理得出六邊形ABCDEF內角的度數(shù)，再根據(jù)∠FMH=120°，A、M、B在一條直線上，再根據(jù)三角形內角和定理即可得出結論；
（2）①當點M與點A重合時，∠FMB=120°，MB與BQ的交點H與點B重合，故可直接得出結論；
②當點M與點A不重合時，連接FB并延長到G，使BG=BH，連接MG，由全等三角形的判定定理可得出△MBH≌△MBG，再根據(jù)全等三角形的性質即可得出結論．
點評：本題考查的是正多邊形和圓，涉及到正多邊形的內角和定理、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理，涉及面較廣，難度較大．