Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以

1

2

cm/s的速度分別沿CA、CB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn) A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．過(guò)點(diǎn)F作BC的垂線l交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)G與點(diǎn)E關(guān)于直線l對(duì)稱．

（1）當(dāng)t=

 

s時(shí)，點(diǎn)G在∠ABC的平分線上；
（2）當(dāng)t=

 

s時(shí)，點(diǎn)G在AB邊上；
（3）設(shè)△DFG與△DFB重合部分的面積為Scm²，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)G做GH⊥BD，垂足為H，GM⊥FB，垂足為M，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，所以EC=CF=FM=GM=GH=

1

2

t，且DG也是△BDF的角平分線，由△BDF∽△ABC得：

BD

BA

=

BF

CB

=

DF

AC

，∴BD=5-

5

8

t，DF=3-

3

8

t，可求得DL、BM的長(zhǎng)度，由DL=DH，BH=BM，構(gòu)造關(guān)于t的方程可以求得答案．
（2）點(diǎn)G在AB邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，由（1）中的數(shù)值，結(jié)合△BGH∽△BAC，構(gòu)造出關(guān)于t的方程，可以得到答案．
（3））由DF∥AC得到△ABC∽△DBF，∴

DF

AC

=

BF

BC

，即

DF

3

=

4- 1 2 t

4

，得到DF=

3

8

(8-t)，分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜t≤

12

5

時(shí)，S=S△DFG=S△DEF=

1

2

DF•CF=

1

2

×

3

8

(8-t)×

1

2

t=-

3

32

t2+

3

4

t；
②當(dāng)

12

5

＜t≤6時(shí)，設(shè)FG交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，設(shè)FH=MH=a，求得BH，解出a與t的關(guān)系，繼而求得S與t的關(guān)系．

解答：解：（1）

8

5

過(guò)點(diǎn)G做GH⊥BD，垂足為H，GM⊥FB，
垂足為M，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，所以四邊形ECFL、四邊形LFGM都是正方形，
∴EC=CF=FM=GM=GH=

1

2

t，
又∵DG也是△BDF的角平分線，
∴DL=DH，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△ABC
∴

BD

BA

=

BF

CB

=

DF

AC

，
∴BD=5-

5

8

t，DF=3-

3

8

t，
又∵DL=DH=3-

3

8

t-

1

2

t=3-

7

8

t，
BH=BM=4-t，又∵BD=BH+HD，
∴5-

5

8

t=3-

7

8

t+4-t，解得：t=

8

5

．


（2）

12

5

點(diǎn)G在AB邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，
∵GH∥AC，
所以△BGH∽△BAC，
∴

BH

BC

=

GH

AC

，
即：

4-t

4

=

1 2 t

3

，
解得：t=

12

5

．


（3）∵DF∥AC，
∴△ABC∽△DBF，
∴

DF

AC

=

BF

BC

，
即

DF

3

=

4- 1 2 t

4

，
解得DF=

3

8

(8-t)
①當(dāng)0＜t≤

12

5

時(shí)，S=S△DFG=S△DEF=

1

2

DF•CF=

1

2

×

3

8

(8-t)×

1

2

t=-

3

32

t2+

3

4

t．
②當(dāng)

12

5

＜t≤6時(shí)，設(shè)FG交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，設(shè)FH=MH=a，
則BH=

4

3

a，
∴

1

2

t+a+

4

3

a=4，
解得a=

3

14

(8-t)，
S=S△DFM=

1

2

DF•FH=

1

2

×

3

8

(8-t)×

3

14

(8-t)=

9

224

(8-t)2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，學(xué)會(huì)分類討論的思想和用方程思想解幾何題是解題的關(guān)鍵．