Question

如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以點C為圓心，1為半徑作圓，點P為⊙C上一動點，連結(jié)AP，并繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AP′，連結(jié)CP′，則CP′的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,圓的認識

專題：

分析：連接CP、BP′，根據(jù)同角的余角相等求出∠CAP=∠BAP′，然后利用“邊角邊”證明△APC和△AP′B全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PC=P′B，再利用勾股定理列式求出BC，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊求解即可．

解答：解：如圖，連接CP、BP′，
∵∠BAC=90°，旋轉(zhuǎn)角為90°，
∴∠CAP+∠CAP′=∠BAP′+∠CAP′=90°，
∴∠CAP=∠BAP′，
在△APC和△AP′B中，

AP=AP′ ∠CAP=∠BAP′ AB=AC

，
∴△APC≌△AP′B（SAS），
∴PC=P′B=1，
在等腰Rt△ABC中，∵AC=2，
∴BC=

22+22

=2

2

，
在△BCP′中，有2

2

-1＜CP′＜2

2

+1，
當三點共線時取到等號，此時不是三角形，但符合題意．
所以，CP′的取值范圍是：2

2

-1≤CP′≤2

2

+1．
故答案為：2

2

-1≤CP′≤2

2

+1．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的認識，三角形的三邊關系，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造成全等三角形是解題的關鍵．